5.2. Упорядоченные полугруппы

Определение 5.2.1. Упорядоченной полугруппой называют систему в случае, если:

1) система — полугруппа;

2) система — упорядоченное множество;

3) отношение монотонно относительно групповой операции, т. е.

Упорядоченную полугруппу называют упорядоченной группой в случае, если система — группа.

Пусть система — упорядоченная полугруппа; если порядок линеен во множестве А, то упорядоченную полугруппу называют линейно упорядоченной: Видимо, без пояснений понятны термины: линейно упорядоченная группа, частично упорядоченная полугруппа, частично упорядоченная группа, строго упорядоченная полугруппа и т. д.

Примеры: 5.2.1. Рассмотрим полугруппу примера 2.5.1. Во множестве Л введем отношение следующим образом:

Легко заметить, что система — линейно упорядоченная полугруппа. При этом порядок не является ни строгим, ни нестрогим.

5.2.2. Рассмотрим в кольце многочленов от неизвестных над каким-либо полем мультипликативную полугруппу, состоящую из многочленов вида

где — неотрицательные целые числа. Введем в указанной полугруппе порядок следующим лексикографическим соглашением:

Легко проверить, что введенное бинарное отношение связно, антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно и монотонно относительно умножения.

5.2.3. Пусть — система натуральных чисел. Отношение делимости в N антисимметрично, транзитивно, рефлексивно и монотонно относительно умножения: Поэтому система — частично упорядоченная полугруппа.

5.2.4. Пусть — система натуральных чисел; — множество пар натуральных чисел с условием, что для некоторого из — множество пар натуральных чисел таких, что или для некоторого из — множество пар натуральных чисел с условием, что для некоторого из N или для всех .

Легко видеть, что каждая из систем является линейной упорядоченной полугруппой; при этом первая является строго упорядоченной, вторая — нестрого упорядоченной, третья — ни той, ни другой.

5.2.5. Пусть А — множество натуральных, не равных единице, чисел, — множество пар чисел из А таких, что и для некоторого натурального . Легко проверить, что система — частично и строго упорядоченная полугруппа.

Группу из двух элементов линейно и строго упорядочить нельзя. В самом деле, если 0 и 1 — ее элементы (0 — нуль группы), то имеем:

Предположим, что . Тогда получим

Вопрос 5.2.1. Доказать, что всякую линейно упорядоченную полугруппу с сокращением можно линейно и строго упорядочить.

Легко доказываются следующие теоремы:

Теорема 5.2.1. Если - упорядоченная полугруппа, то

Теорема 5.2.2. Если — упорядоченная полугруппа, — натуральное число, то

В частности, если — линейно и строго упорядоченная полугруппа, то

Следствие 1. Если — натуральные числа, то

Следствие 2. Если — натуральные числа, то

Теорема 5.2.3. Если — линейно и строго упорядоченная полугруппа, то:

Итак, всякая линейно и строго упорядоченная полугруппа — полугруппа с сокращением.

Теорема 5.2.4. Если — линейно и строго упорядоченная полугруппа, то:

Для примера докажем одно из соотношений. Из теоремы 5.2.3 Следует, что каковы бы ни были элементы а и множества А,

Таким образом,

Определение 5.2.2. Пусть — упорядоченная полугруппа. Элемент а множества А называют положительным (отрицательным), если (соответственно .

Теорема 5.2.5. Пусть — линейно и строго упорядоченная полугруппа, Тогда элементы:

все различны. Если, при тех же предположениях, система — группа, то все различны иэлементы:

Доказательство. Если , то индукцией по натуральному легко доказать, что

А отсюда следует, что

и, следовательно,

Второе утверждение теоремы доказывается без труда.

Теорема 5.2.6. Конечную полугруппу с сокращением, если число ее элементов нельзя линейно упорядочить.

Доказательство. Вопрос 5.2.1 и теорема 5.2.5.

Теорема 5.2.7. Полугруппу с сокращением и с конечной подполугруппой из элементов нельзя линейно упорядочить.

Теорема 5.2.8. Пусть - линейно упорядоченная группа. Тогда

Таким образом, всякая линейно упорядоченная группа либо строго, либо нестрого упорядочена. В любом из этих случаев, как легко проверить, можно говорить о двух отношениях линейного порядка в данной группе — строгом и нестрогом (вопросы 5.1.3 и 5.1.4). Знаком пользуются для обозначения первого из этих отношений и знаком — для обозначения второго из них.

Часто бывает полезной следующая теорема.

Теорема 5.2.9. Если система А — линейно упорядоченная группа, то

Вопросы: 5.2.2. Доказать, что любое непустое конечное множество элементов упорядоченной полугруппы имеет наибольший и наименьший элементы.

5.2.3. Доказать, что упорядоченная полугруппа линейно упорядочена в том и только в том случае, если любое конечное множество ее элементов имеет и только один наибольший элемент.

5.2.4. Доказать, что сумма положительных элементов коммутативной полугруппы с сокращением положительна.

5.2.5. Доказать, что сумма положительных элементов линейно и строго упорядоченной полугруппы положительна.

5.2.6. Доказать, что всякий элемент линейно и строго упорядоченный полугруппы, больший положительного элемента, сам является положительным.

5.2.7. Доказать, что элемент упорядоченной коммутативной полугруппы с сокращением, больший положительного элемента, не обязательно положителен.

5.2.8. Доказать, что множество положительных элементов линейно упорядоченной группы не пусто.

5.2.9. Пусть линейно и строго упорядоченная группа. Доказать, что элемента системы А тогда и только тогда положителен, если

5.2.10. Доказать, что существует и только один линейный и строгий порядок в аддитивной полугруппе натуральных чисел, в котором множество положительных элементов не пусто.

5.2.11. Доказать, что существует бесконечно много линейных и строгих порядков в мультипликативной полугруппе натуральных чисел с непустым множеством положительных элементов.

5.2.12. Доказать, что мультипликативную полугруппу целых чисел нельзя линейно упорядочить.