Главная > Числовые системы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9.4. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел

Теорема 9.4.1. Аксиоматическая теория комплексных чисел непротиворечива относительно аксиоматической теории действительных чисел.

Доказательство. Мы укажем модель данной теории. Пусть — поле действительных чисел. Рассмотрим множество Р пар действительных чисел и определим на Р бинарные операции и (сложение и умножение) следующими условиями:

Нам известно (вопрос 2.6.19), что — поле. Выберем в Р подмножество пар вида Сопоставим с каждым действительным числом а пару Легко видеть, что — взаимно-однозначное отображение R на Далее, имеем:

Таким образом, — изоморфное отображение на Следовательно:

а) — поле действительных чисел;

б) поле — расширение поля

Заметим также, что (1,0) и (0,0) — единица и нуль поля Полагаем i (0, 1). Имеем

Итак, на системе ) выполняются первые 15 аксиом нашей теории. Пусть, наконец, М — подмножество Р такое, что:

Докажем, что в таком случае любой элемент множества Р принадлежит множеству М. В самом деле, имеем

Теорема доказана.

Вопросы: 9.4.1. Доказать непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел, рассматривая ее интерпретацию, в которой множества операции на них и элементы определены соглашениями:

9.4.2. Пусть T — множество троек действительных чисел, на котором операции и бинарное отношение определены соглашениями:

Доказать, что:

1) алгебра - коммутативное кольцо;

2) отношение отношение эквивалентности, монотонное относительно обеих операций;

3) факторкольцо — поле, изоморфное полю комплексных чисел.

9.4.3. Воспользовавшись результатом вопроса 9.4.2, найти модель для аксиоматической теории комплексных чисел.

1
Оглавление
email@scask.ru