8.6. Система p-адических чисел

Тот же путь, который в связи с естественным нормированием поля рациональных чисел приводит к понятию действительного числа, в связи с -адическим нормированием приводит к понятию -адического числа. Систему -адических чисел можно определить как минимальное нормированное расширение поля рациональных чисел, в котором всякая фундаментальная по -адической норме последовательность рациональных чисел сходится по норме Отдельные части этой фразы требуют дополнительных пояснений, но, вместо того чтобы давать такие пояснения, мы попытаемся дать достаточно подробную схему построения аксиоматической теории -адических чисел.

Первичные термины.

а) — множества; их элементы называются рациональными, действительными и -адическими числами соответственно.

б) + и . — тернарные отношения в них (для большей четности следовало бы пользоваться набором из трех пар символов).

в) - бинарные отношения в Q и в R (для большей четкости следовало бы пользоваться двумя символами).

г) — элементы — простое число.

д) — отображения Q и соответственно в

Аксиомы.

1. — система действительных чисел. — поле рациональных чисел и — простой элемент поля

— нормированное поле, в котором последовательность нулевая по норме v, т. е. v является -адической нормой.

4. - поле

5. — нормированное поле.

6. Поле — расширение поля

7. Норма — продолжение нормы v, т. е. .

8. Всякая фундаментальная по норме v последовательность элементов Q сходится по норме к элементу из

9. Аксиома минимальности. Пусть М — подмножество такое, что всякая фундаментальная по норме v последовательность элементов Q сходится по норме к элементу из тогда

Вопросы: 8.6.1. Доказать, что каждое -адическое число — предел по норме последовательности рациональных чисел.

8.6.2. Доказать, что для любых а из из существует в Q элемент а такой, что

8.6.3. Доказать, что для любой последовательности -адических чисел существует эквивалентная ей по норме О последовательность рациональных чисел.

8.6.4. Доказать, что любая фундаментальная по норме последовательность -адических чисел сходится по норме

8.6.5. Доказать, что каждое отличное от нуля -адическое число а может быть представлено и притом единственным способом в виде

(8.6.1)

где — целые;

8.6.6. Найти представление — 1 в форме (8.6.1).

8.6.7. Решить в поле уравнение

8.6.8. Доказать, что не существует изоморфного отображения поля в поле

8.6.9. Пусть и q — различные простые. Доказать, что не существует изоморфного отображения на

8.6.10. Доказать, что для любых двух систем -адических чисел можно найти изоморфное отображение поля на поле которое любую нулевую по норме последовательность элементов поля переводит в нулевую по норме последовательность элементов поля (категоричность).

8.6.11. Доказать, что множество всех -адических чисел континуальное.

8.6.12. Доказать, что базис трансцендентности поля р-адических чисел относительно поля рациональных чисел — континуальное множество.

Теорема 8.6.1. Аксиоматическая теория -адических чисел непротиворечива.

Доказательство. В предположении, что аксиоматические теории рациональных и действительных чисел непротиворечивы, мы докажем непротиворечивость аксиоматической теории -адических чисел. Для этой цели мы построим модель, на которой выполняются все аксиомы нашей теории.

План доказательства:

1) Построение поля

2) Включение поля Q рациональных чисел.

3) Определение нормы в поле

4) Проверка сходимости фундаментальной по норме v последовательности элементов поля Q в поле

5) Проверка выполнения аксиомы минимальности.

Пусть — какая-либо система действительных чисел и — ее подполе — поле рациональных чисел, — простое число и — -адическая норма в поле

1а) Выбором системы R мы обеспечили выполнение первой аксиомы. Далее рассуждаем так. Рассмотрим множество F фундаментальных по норме последовательностей поля Q. Определим на множестве F два тернарных отношения и бинарное отношение следующим образом:

Легко проверить, что система — коммутативное кольцо, а отношение — отношение эквивалентности на F. Пусть — множество классов эквивалентности множества F. В силу того что отношение эквивалентности на F монотонно относительно обеих операций тернарные отношения на F, определяемые условиями:

суть бинарные алгебраические операции на

1б) Можно показать, что система — коммутативное кольцо, нулем которого является класс , содержащий все нулевые по норме последовательности элементов

1в) Нетрудно доказать, что система — поле (аксиома 4).

2) Выделим в множестве F подмножество Q тех классов а, каждый из которых содержит стационарную последовательность элементов Q; другими словами,

Рассмотрим отображение множества Q на , определяемое условием

Легко проверить, что — изоморфное отображение поля Q на систему Отсюда следует, что система Q — поле и, более того, является полем рациональных чисел, а поле — расширение поля Q. Единицей поля Q является элемент Нетрудно усмотреть, что — простой элемент поля Q. Таким образом, аксиомы 2 и выполняются.

3а) Пусть — какой-нибудь элемент Q. Определим отображение v поля Q в систему R условием

Легко проверить, что v — норма поля Q и что последовательность — нулевая по норме v. Таким образом, аксиома 3 выполнена.

3б) В силу теоремы 7.3.9 если последовательность элементов Q фундаментальна по норме то и последовательность фундаментальна и, следовательно, сходится в R. Далее, если последовательности из F эквивалентны по норме то и последовательности эквивалентны. Из этих замечаний следует, что отображение b множества в R, определяемое условием

однозначное отображение множества в R. Без труда проверяется выполнение аксиом 5 и 7.

4) Рассуждая как при доказательстве теоремы 8.5.1, нетрудно убедиться в том, что любая фундаментальная по норме v последовательность элементов поля Q сходится по норме к элементу поля

5) Пусть — произвольный элемент Рассуждая как при доказательстве теоремы 8.5.1, мы покажем, что последовательность элементов Q сходится по норме Отсюда следует, что и аксиома 9 выполняется.

Тем самым построение поля -адических чисел завершено.