2.9. Отношение эквивалентности

Определение 2.9.1. Бинарное отношение , заданное во множестве А, называют отношением эквивалентности во множестве А, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Другими словами, если:

Пример 2.9.1. Пусть — фиксированное натуральное число. Определим отношение в множестве целых чисел Z следующим образом:

Нетрудно проверить, что отношение — отношение эквивалентности. Это имеют в виду, когда говорят: «Отношение сравнения по модулю является отношением эквивалентности во множестве целых чисел».

Вопросы: 2.9.1. Рассмотрим множество вопроса 2.6.16. Определим отношение в следующим образом:

Показать, что отношение во множестве — отношение эквивалентности.

2.9.2. Рассмотрим множество вопроса 2.6.17. Определим отношение в следующим образом:

Показать, что отношение во множестве — отношение эквивалентности.

Обозначение. Для отношения эквивалентности употребляют часто обозначение: (читают: а эквивалентно ).

Определение 2.9.2. Пусть — отношение эквивалентности во множестве А. Классом эквивалентности любого элемента относительно отношения называют множество

Обозначение. Класс эквивалентности элемента относительно отношения обозначают следующим образом: или или или . Легко видеть, что если — отношение эквивалентности во множестве А, то:

Таким образом, отношение эквивалентности во множестве А определяет разбиение А на попарно непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности отношения . Множество всех классов эквивалентности отношения называют также фактормножеством А относительно и обозначают символом .

Из сказанного выше следует, что для любой пары классов фактормножества

Определим отображение множества А в фактормножество следующим образом:

(2.9.1)

Легко видеть, что — однозначное отображение множества А на фактормножество .

Примеры 2.9.2. Отношение равномощности во множестве вопроса 2.6.22 — отношение эквивалентности. Класс эквивалентности множества К относительно равномощности состоит из равночисленных конечных множеств натуральных чисел.

2.9.3. Классы вычетов кольца целых чисел по натуральному модулю — классы эквивалентности множества целых чисел относительно сравнения по модулю .

2.9.4. Пусть — поле, — не равный нулю многочлен кольца . Многочлены кольца называют сравнимыми по модулю если

Легко видеть, что отношение сравнимости по модулю — отношение эквивалентности, монотонное относительно сложения и умножения в кольце

Теорема 2.9.1. Пусть — алгебра с одной бинарной операцией; — отношение эквивалентности во множестве A, монотонное относительно указанной операции. Другими словами,

Сопоставим с каждой парой классов эквивалентности фактормножества класс . Тогда определенное указанным способом тернарное отношение в фактормножестве — бинарная алгебраическая операция.

Доказательство. Так как сложение в А — алгебраическая операция, то, каковы бы ни были элементы а и b из А, сумма а + b входит в А и, следовательно, в класс . Поэтому с каждой парой классов в указанном соответствии сопоставляется по крайней мере один класс, а именно Нам остается показать, что этот класс определяется однозначно. Пусть

Докажем, что

В силу монотонности имеем:

А в силу транзитивности получим

и, следовательно,

Из доказанной теоремы следует, что система — алгебра. В каком отношении она находится к системе

Теорема 2.9.2. Пусть в условиях теоремы — однозначное отображение множества А на фактормножество определенное условием

Тогда -гомоморфное отображение системы на систему ().

Доказательство. Наше утверждение справедливо, так как:

— однозначное отображение А на

Теорема 2.9.3. Пусть — алгебра с двумя бинарными операциями, — отношение эквивалентности в А, монотонное относительно каждой операции, f — однозначное отображение Л на определяемое условием

- тернарные отношения на сопоставляющие с каждой парой классов фактормножества классы соответственно.

Тогда система - алгебра, — гомоморфное отображение А на В.

Справедливость теоремы следует из теорем 2.9.1 и 2.9.2.

Пример 2.9.4. Кольцо целых чисел гомоморфно отображается на факторкольцо классов вычетов по модулю .

Вопросы: 2.9.3. На фактормножестве примера 2.9.2 определим тернарные отношения сопоставляя с каждой парой классов классы соответственно. Пусть f — однозначное отображение К в фактормножество определяемое условием

Является или нет гомоморфным отображением системы на систему ?

2.9.4. Пусть — коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля. Обозначим через Р множество всех пар элементов А таких, что . Определим в Р сложение умножение О и отношение эквивалентности следующим образом:

Доказать, что сложение и умножение — алгебраические операции на Р, что отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно и монотонно относительно обеих операций.

Пусть далее Р — множество классов эквивалентности множества Р и пусть — классы множества Р с представителями и соответственно. Полагаем:

Доказать, что — поле. Пусть — подмножестве Р, определяемое условием

Доказать, что — подкольцо поля Р, изоморфное кольцу . Доказать, что любой элемент Р есть частное двух элементов из