9.3. Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел
Теорема 9.3.1. Пусть
- системы комплексных чисел. Тогда существует изоморфное отображение
системы С на
Доказательство. Прежде всего услбвливаемся в целях краткости пользоваться одинаковыми знаками операций в С и R, а также в
Далее, условливаемся элементы из С снабжать одним штрихом:
а элементы из
двумя:
Поскольку любые поля действительных чисел по теореме 8.4.1 изоморфны, существует взаимно-однозначное отображение
множества
на
такое, что:
Определим однозначное отображение
множества С в
следующим условием:
Нетрудно убедиться в том, что f — взаимно-однозначное отображение С на
Пусть
Имеем:
Аналогично проверяется и условие
Вопросы: 9.3.1. Доказать, что в поле комплексных чисел имеется:
а) только одно подполукольцо, изоморфное полукольцу натуральных чисел;
б) только одно подкольцо, изоморфное кольцу целых чисел;
в) только одно поле, изоморфное полю рациональных чисел;
г) три поля, изоморфных полю вопроса 2.6.23.
9.3.2. Доказать, что в поле комплексных чисел имеется:
а) только один, отличный от тождественного, автоморфизм, оставляющий действительные числа на месте;
б) бесконечно много автоморфизмов.
9.3.3. Доказать, что в поле комплексных чисел имеется бесконечно много подпол ей, изоморфных полю действительных чисел.