2.5. Полугруппы и группы

Единственную бинарную операцию названных алгебр мы будем записывать мультипликативно. Это обстоятельство, очевидно, несущественно, и перевод определений и высказываний об алгебрах с мультипликативной записи на аддитивную нетруден. Впрочем, определение полугруппы и группы можно сделать и независимым. явно от какого бы то ни было способа записи рассматриваемой в них операции. Аналогичное замечание можно сделать и относительно других алгебр.

Определение 2.5.1. Алгебру называют полугруппой, если операция на А бинарна и ассоциативна. Другими словами, если:

Полугруппу называют коммутативной, если операция коммутативна, и конечной, если множество А конечно. Полугруппу называют полугруппой с сокращением, если

Таким образом, полугруппа — полугруппа с сокращением, если

Пример 2.5.1. Рассмотрим множество из двух элементов и определим на А бинарную операцию следующей таблицей:

Легко проверить, что система — полугруппа, и притом без сокращения.

Теорема 2.5.1. В любой полугруппе с сокращением имеется не более чем один элемент такой, что

Доказательство. Предположим, что для элементов и полугруппы А

Тогда

Отсюда следует, что

Определение 2.5.2. Полугруппу называют группой, если

Определения 2.5.3. и 2.5.4. Пусть — полугруппа и А — подмножество А; тогда систему называют подполугруппой (соответственно подгруппой) полугруппы А, если система А — полугруппа (соответственно группа). Другими словами, если подмножество А множества А образует полугруппу (группу) относительно той же операции, которая рассматривается в А, то систему А называют подполугруппой (подгруппой) полугруппы А.

Вопросы: 2.5.1. Является ли полугруппой (группой) множество натуральных чисел относительно сложения (умножения)?

2.5.2. Доказать, что множество действительных чисел не является группой относительно возвышения в степень (вопрос 2.2.4).

2.5.3. Доказать, что если — группа, то множество A содержит по крайней мере один элемент (единицу) с условием, что

и для каждого элемента а из A хотя бы один элемент а (обратный к а) с условием, что

2.5.4. Доказать, что если — группа, то А — полугруппа с сокращением.

2.5.5. Пусть — алгебраическая система с бинарной операцией и нульарной операцией . Доказать, что система — группа, если: 1) операция ассоциативна; 2) .

2.5.6. Доказать, что если — группа, то А содержит только один нейтральный элемент (единицу) операции и для каждого элемента а в А имеется только один симметричный (обратный) к нему элемент

2.5.7. Пусть — группа; А — непустое подмножество А. Доказать, что система тогда и только тогда подгруппа группы А, если в А для с каждой пары элементов содержится их частное.

2.5.8. Пусть — группа, М — непустое множество с условием: для каждого из М определена — подгруппа группы А. Пусть — пересечение всех А, т. е. . Доказать, что система — подгруппа группы А.

Коротко: пересечение любого множества подгрупп группы А — снова подгруппа А.

2.5.9. Пусть — группа. Доказать, что:

2.5.10. Пусть — коммутативная полугруппа с сокращением. Доказать, предполагая, что все встречающиеся разности имеют смысл, следующие равенства:

2.5.11. Пусть — коммутативная группа с единицей 1. Доказать, что:

2.5.12, Пусть алгебры

— группы; Определим на множестве А операцию условием

Доказать, что система — группа.

Упражнения: 2.5.1. Записать в аддитивном обозначении утверждения, сформулированные в вопросах 2.5.9 и 2.5.11.

2.5.2. Сформулировать в аддитивных обозначениях вопросы 2.5.6 и 2.5.7.

Пусть — группа и — единица группы А. В таком случае употребляют также запись ; другими словами, алгебру А рассматривают и как систему с одной бинарной операцией и одной нульарной операцией (вопрос 2.5.5).