§ 3. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
3.1. Аксиоматическая теория
Под аксиоматической теорией понимают систему из двух множеств высказываний Т и W, одно из которых W содержит второе Т. Множество W состоит из высказываний, которые имеют смысл в рамках данной теории, а множество Т — из высказываний, которые рассматриваются в ней как истинные и доказуемые.
Множество Т получается следующим образом. Выбирается некоторое множество 
высказываний данной теории. Таким образом 
. Все высказывания этого выбранного множества объявляются аксиомами. Всякое высказывание w множества W относят к множеству Т и называют теоремой лишь в том случае, если существует конечная последовательность высказываний:
такая, что выполняются следующие условия:
1) каждое высказывание этой последовательности — или аксиома, или может быть выведено путем применения логических правил вывода из предшествующих высказываний этой последовательности;
В частности, каждая аксиома принадлежит множеству 
т. е. является теоремой. Последовательность (1) с указанными выше свойствами называется доказательством или выводом высказывания 
Если при описании теории система логических правил вывода предполагается известной, то теорию называют содержательной или неформальной. Если используемая система логических правил 
вывода явным образом включается в теорию, то такая теория называется формальной аксиоматической теорией. Классическая теория групп может служить примером неформальной аксиоматической теории, исчисление высказываний — примером формальной аксиоматической теории.
