7.4. Последовательности элементов линейно упорядоченного поля

Мы будем здесь предполагать, что — линейно упорядоченные поля, причем Р — расширение системы — абсолютная величина элемента как и прежде, подполе поля Р.

Теорема 7.4.1. Пусть фундаментальная относительно поля и не нулевая относительно поля последовательность элементов поля А. Тогда существует в поле такой положительный элемент и натуральное число что

при этом либо

либо

Доказательство. В самом деле, по теореме 7.3.11

Предположение, что числа разных знаков, сразу приводит к противоречию, так как

Легко доказывается

Теорема 7.4.2. Если возрастающая последовательность положительных элементов поля А не ограничена относительно поля , то последовательность нулевая относительно поля .

В следующих теоремах поле Р нельзя заменить на любое его подполе.

Теорема 7.4.3. Если последовательность элементов поля А сходится относительно поля Р к элементу а того же поля, и

то

Доказательство. В самом деле, если , то, полагая , мы для всех натуральных , начиная с некоторого, в противоречие с предположением получим

Теорема 7.4.4. Если последовательность элементов поля А строго возрастает, не ограничена относительно поля Р, то для любого элемента у поля А с условием существует и только одно натуральное число с такое, что

Доказательство. Так как последовательность а не ограничена относительно поля Р, то существует натуральное число такое, что

Пусть М — множество тех натуральных чисел (индексов членов последовательности а), для которых Множество М ограничено сверху числом и непусто, так как . Поэтому М имеет наибольший элемент с. Таким образом,

Легко проверить, что только одно натуральное число с удовлетворяет этому условию.