§ 4. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

4.1. Первичные термины

— множество натуральных чисел, называемое в дальнейшем также натуральным рядом,

— единица — элемент множества

- сумма — тернарное отношение в

— произведение — тернарное отношение в

Итак, в качестве первичных терминов в нашей теории выступают множество N, одно унарное отношение («быть единицей») и два тернарных отношения («быть суммой», «быть произведением»). Обозначения.

1) Если , то мы пишем

2) Для любой пары элементов а и b из N символом

мы обозначаем множество

3) Для любой пары подмножеств А и В множества N символом

мы обозначаем множество .

4) Если то символ

означает то же, что символ .

Аналогичным образом определяется смысл выражений .

Легко видеть, что, каковы бы ни были подмножества А, В, С, D множества

Вместе с тем следует заметить, что, пока не названы аксиомы нашей теории, мы не можем сказать, пусты или нет множества , каковы бы ни были А и В.

Упражнение 4.1.1. Найти