6.7. Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел

Теорема 6.7.1. Аксиоматическая теория рациональных чисел категорична.

Доказательство. В предположении, что аксиоматическая теория рациональных чисел непротиворечива, докажем, что две любые модели, на которых выполняются все пятнадцать аксиом нашей теории, изоморфны. Пусть

две модели нашей теории. Так как любые кольца целых чисел изоморфны, то существует изоморфное изображение кольца на кольцо . Но по теореме 6.6.1 любой элемент представим в виде частного элементов из а любой элемент из — в виде частного элементов из . Этим и воспользуемся для задания изоморфного отображения первой системы на вторую.

Пусть — такие элементы из что

Полагаем

Далее, рассуждая, как при доказательстве теоремы 6.3.1, мы убеждаемся, что f осуществляет изоморфное отображение одной модели на другую.

Вопросы: 6.7.1. Доказать, что любые поля рациональных чисел изоморфны.

6.7.2. Доказать, что поле, изоморфное полю рациональных чисел, само является полем рациональных чисел.