3.5. Свойства аксиоматических теорий

Аксиоматическую теорию называют непротиворечивой, если для любого высказываниям теории хотя бы одно из высказываний w или не является теоремой. Противоречивую теорию не имеет смысла рассматривать. Как установить непротиворечивость теории?

Данная теория непротиворечива, если для нее удалось найти модель из объектов другой, но заведомо непротиворечивой теории. В самом деле, поскольку в обеих теориях мы пользуемся одной логикой, то каждому доказуемому высказыванию теории отвечает доказуемое высказывание модели, т. е. второй теории. Но противоположным высказываниям отвечают противоположные высказывания модели. Поэтому из противоречивости данной теории прямо следует противоречивость модели, а значит, и второй теории.

Это рассуждение обосновывает непротиворечивость одной теории относительно другой. Однако в случае, если моделью служит конечное множество, отсутствие противоречивости в модели иногда можно проверить непосредственно. Это позволяет решить вопрос о непротиворечивости данной теории вне зависимости от непротиворечивости каких-либо других теорий. Так, теория групп непротиворечива, поскольку ее моделью служит одноэлементное множество в котором

Метод моделей, который позволяет установить непротиворечивость аксиоматической теории, да и то часто только относительную, является косвенным. Но прямой путь установления непротиворечивости неформальных аксиоматических теорий закрыт. Это связано с тем, что в таких теориях нет точного понятия доказательства. И только для формальных аксиоматических теорий в некоторых случаях удается найти прямое доказательство их непротиворечивости.

Пример 3.5.1. Исчисление высказываний непротиворечиво.

Аксиоматическую теорию называют категоричной, если две любые ее модели изоморфны.

Вопрос 3.5.1 Категорична или нет аксиоматическая теория групп?

Аксиоматическую теорию называют полной, если для любого высказывания w этой теории хотя бы одно из высказываний w или является теоремой.

У нас нет средств для решения проблемы полноты содержательной аксиоматической теории. Да таких средств и не существует, поскольку в содержательной аксиоматической теорий нет точного понятия доказательства — не указаны явным образом все правила вывода.

Следующее свойство характеризует формулировку теории.

Пусть — какая-нибудь формулировка аксиоматической теории. Аксиому называют независимой от остальных аксиом множества если ее нельзя из них вывести. Другими словами, аксиома независима от остальных, если пара не является другой формулировкой данной теории.

Наоборот, если пара является другой формулировкой данной теории, то аксиома зависит от остальных аксиом данной теории.

Предположим, что данная теория непротиворечива. Как решить вопрос о независимости аксиомы этой теории?

Если непротиворечива теория, формулировкой которой служит пара где то аксиома очевидно, не зависит от остальных аксиом данной теории.

Вопрос о независимости аксиомы сведен к вопросу о непротиворечивости теории с формулировкой (). А этот вопрос обычно решают, подбирая для второй теории модель из объектов данной теории.

Пример 3.5.2. Рассмотрим аксиоматическую теорию, первичными терминами которой являются:

а) А — множество;

б) — тернарное отношение в А, а аксиомами следующие высказывания:

Убедимся в независимости аксиом данной теории. Для этой цели достаточно указать четыре модели. На каждой из таких моделей одна аксиома не выполняется, а остальные выполняются.

— множество, состоящее из всех целых чисел, в котором трехчленное отношение определяется условием

Легко видеть, что на системе выполняются все аксиомы, кроме первой.

— множество из двух элементов , на котором бинарная операция задается таблицей

Легко проверить, что все аксиомы, кроме второй, на этой модели выполняются. Построение модели выполняется аналогично.

— множество из трех элементов с одной бинарной операцией определенной таблицей

На этой модели выполняются все аксиомы, кроме последней, так как

Вопрос 3.5.2. Доказать, что является формулировкой аксиоматической теории группы.