8.2. Свойства действительных чисел

Заметим прежде всего, что в силу теоремы 6.2.3 система действительных чисел имеет подполе, изоморфное полю рациональных чисел. А так как на любом поле, изоморфном полю рациональных чисел, все аксиомы аксиоматической теории рациональных чисел, очевидно, выполняются, то мы можем отсюда сделать вывод, что поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел.

Теорема 8.2.1. Всякое действительное число есть предел последовательности рациональных чисел.

Доказательство. Пусть — какое-нибудь действительное число. По теореме 7.5.6 для стационарной последовательности действительных чисел можно указать эквивалентную ей последовательность рациональных чисел. Отсюда сразу следует, что

Теорема 8.2.2 (о существовании корня любой натуральной степени из положительного числа).

Другими словами, каковы бы ни были натуральное число k и действительное а, если то существует и только одно положительное действительное число такое, что

(8.2.1)

Доказательство. По теореме 7.5.5 существует такая фундаментальная последовательность действительных чисел, что

Но по аксиоме существует действительное число такое, что

Из теорем 7.3.17 и 7.3.12 мы выводим наше утверждение.

Теорема 8.2.3. Поле можно линейно и строго упорядочить не более чем одним способом.

Доказательство. Пусть — положительные части поля действительных чисел. Если то по теореме 8.2.2 можно найти действительное число такое, что

Заметим, что , а потому в силу теоремы 5.4.4. Итак, и, следовательно, по теореме 5.4.12.

Теорема 8.2.4 (о двойной последовательности). Пусть — последовательности действительных чисел, удовлетворяющие условиям:

Тогда существует и только одно действительное число у такое, что

и

Доказательство. По теореме 7.5.4 последовательность фундаментальна; по аксиоме она имеет предел . По теореме 7.3.8 тот же предел имеет и последовательность . Последнее утверждение теоремы легко следует из теоремы 7.4.3.

Теорема 8.2.5 (всякое сечение имеет рубеж). Пусть множество R разбито на 2 класса А и В так, что:

Тогда существует действительное число у такое, что либо и тогда либо и тогда

Доказательство. Построим двойную в смысле теоремы 8.2.4 последовательность. За примем любые элементы классов А и В соответственно. Предположим, что члены выбраны, причем:

Следующую пару членов выбираем так:

Таким образом, двойная последовательность нами построена. Нетрудно видеть, что к ней применима теорема 8.2.4. Поэтому существует действительное число, такое, что

Покажем, что если , то . Допустим, что для некоторого а из А. В таком случае, это невозможно.

Вопросы: 8.2.1. Доказать, что всякое архимедовски линейно упорядоченное поле изоморфно отображается в поле действительных чисел.

8.2.2. Показать, что если подполе Р поля действительных чисел можно неархимедовски линейно упорядочить, то множество Р содержит трансцендентные числа.

8.2.3. Пусть R — поле действительных чисел, Q — поле рациональных чисел, — действительное число. Показать, что число трансцендентно в том и только в том случае, если простое расширение поля рациональных чисел можно неархимедовски упорядочить.

8.2.4. Пусть — поля действительных и рациональных чисел соответственно и Q — подполе поля R. Доказать, пользуясь теоремой Цермело, что поле R имеет линейный базис над Q, другими словами, существует вполне упорядоченное множество В и отображение Q множества В в

с условием, что для любого действительного числа а можно найти и только одно такое отображение а множества В в

что:

1) для всех, из В, кроме, быть может, конечного подмножества;

(8.2.2)

8.2.5. Пусть — система действительных чисел, Q — поле рациональных чисел. Пусть — линейный базис поля над полем рациональных чисел и

их представления в форме (8.2.2). Определим в множестве R бинарное отношение следующим лексикографическим условием:

в трансфинитном смысле. Показать, что — линейно и строго упорядоченная группа.

8.2.6. Пусть бинарное отношение в R, определяемое соглашением

Показать, что оно обладает следующими свойствами:

8.2.7. Показать, что линейный порядок поле действительных чисел определяется и притом однозначно следующими условиями:

8.2.9. Показать, что множество линейных и строгих порядков в аддитивной группе действительных чисел бесконечно.

Пусть — подполе поля . Символом обозначают минимальное подполе поля Р, содержащее множество Вполне упорядоченное множество называют базисом поля Р относительно поля А, если для любого собственного подмножества множества В. Вполне упорядоченное множество называют базисом трансцендентности поля Р относительно поля А, если каждый элемент Р — корень некоторого многочлена степени выше нулевой над полем А (В) и никакое собственное подмножество множества В не обладает таким свойством.

8.2.10. Пользуясь теоремой Цермело, доказать, что любое поле иеет базис относительно каждого подполя.

8.2.11. Пользуясь теоремой Цермело, доказать, что любое поле имеет базис трансцендентности относительно каждого подполя.

Определение 8.2.1. Единственное положительное число, удовлетворяющее уравнению (8.2.1), называют корнем степени из числа а и обозначают символом

Вопрос 8.2.12. Пусть а — положительное действительное число, . Доказать, что:

Определение 8.2.2 (рациональная степень). Пусть а — положительное действительное число, . Полагаем

Вопросы: 8.2.13. Пусть — положительные действительные числа, . Доказать, что:

8.2.14. Пусть — положительные действительные числа; . Доказать, что

8.2.15. Пусть а — положительное действительное число, . Доказать, что

8.2.16. Пусть — действительные числа, . Пусть далее:

Доказать, что:

8.2.17. Пусть — последовательность положительных действительных чисел, — положительное рациональное число. Доказать, что последовательность нулевая тогда и только тогда, если последовательность нулевая.

8.2.18. Пусть - ненулевая последовательность действительных положительных чисел; . Доказать, что последовательность фундаментальна тогда и только тогда, если последовательность фундаментальна.

8.2.19. Пусть а — положительное действительное число, . Доказать, что

8.2.20. Пусть -ненулевая последовательность положительных действительных чисел, а — положительное действительное число, . Доказать, что

8.2.21. Пусть последовательность положительных действительных чисел, — фундаментальная последовательность рациональных чисел. Доказать, что если последовательность сходится к 1, то и последовательность сходится к тому же пределу.

8.2.22. Пусть — неограниченно возрастающая последовательность рациональных чисел, Доказать, что последовательность неограниченно возрастает.

8.2.23. Пусть — нулевая последовательность рациональных чисел, Доказать, что последовательность сходится к 1.

8.2.24. Пусть а — положительное действительное число, — рациональные числа. Доказать, что

8.2.25. Пусть — ненулевая фундаментальная последовательность положительных действительных чисел, — нулевая последовательность рациональных чисел. Доказать, что

8.2.26. Пусть — ненулевая фундаментальная последовательность положительных действительных чисел, — фундаментальная последовательность рациональных чисел. Доказать, что последовательность фундаментальна.

8.2.27. Доказать, что если — эквивалентные ненулевые последовательности действительных чисел и то последовательность сходится к 1.

8.2.28. Доказать, что если — ограниченная и ненулевая последовательность действительных положительных чисел, — ограниченная последовательность рациональных чисел, то последовательность ограничена.

8.2.29. Пусть — эквивалентные ненулевые фундаментальные последовательности положительных действительных чисел, — эквивалентные последовательности рациональных чисел. Доказать, что последовательности эквивалентны, а каждая из них фундаментальна.

Определение 8.2.3 (вещественная степень). Пусть — действительные числа, — последовательность положительных рациональных чисел, сходящаяся к числу а, и — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к . Полагаем

Вопрос 8.2.30. Пусть — действительные числа, Доказать, что: