§ 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы

Пусть в трехмерном пространстве имеем две прямоугольные системы координат имеющие общее начало О. Пусть точка М имеет координаты в первой и второй системах координат (можно начала координат и не совмещать).

Обозначим через единичные векторы на осях координат в первой системе координат, через единичные векторы во второй системе координат. Векторы являются базисными векторами в системе векторы базисные в системе

Тогда вектор ОМ b первой системе координат запишется так:

во второй системе:

Рассмотрим преобразование координат произвольной точки М в координаты этой же точки. Можно сказать,

что будем рассматривать преобразование пространства в пространство

Это преобразование обладает тем свойством, что отрезок длины переходит в отрезок той же длины l. Треугольник переходит в равный треугольник, следовательно, два вектора, выходящие из одной точки с углом между ними, переходят в два вектора той же длины с тем же углом между ними.

Преобразование, обладающее указанным свойством, называется ортогональным.

Можно сказать, что при ортогональном преобразовании происходи! перемещение всего пространства как твердого тела или перемещение и зеркальное отображение. Определим матрицу этого преобразования.

Выразим единичные векторы через единичные векторы :

Здесь

Девять направляющих косинусов запишем в виде матрицы

Пользуясь соотношениями (4), можем также написать

Очевидно, что матрица

является транспонированной матрицей по отношению к матрице S. Так как — единичные взаимно перпендикулярные векторы, то их векторно-скалярное произведение равно Следовательно,

Аналогично

Вычислим произведение матриц

Действительно, если обозначить через элементы матрицы произведения, то получаем

Аналогично

Итак,

Таким образом, транспонированная матрица S совпадает с обратной матрицей :

Матрица, удовлетворяющая условиям (13) или (14), т. е. обратная своей транспонированной, называется ортогональной. Найдем далее формулы преобразования координат в координаты и обратно. В силу формул (3) и (6) правые части равенств (1) и (2) можно выразить как через базис так и через базис Следовательно, можно написать равенство

Умножая последовательно все члены равенства (15) на вектор на вектор на вектор и учитывая, что

получим

Умножая члены равенства (15) последовательно на получим

Итак, матрицей ортогональных преобразований (17) является матрица S, а матрицей обратного преобразования (18)-матрица S.

Таким образом, доказано, что в декартовой системе координат ортогональному преобразованию соответствует ортогональная матрица. Можно доказать, что если матрицы прямого и обратного преобразования (17) и (18) удовлетворяют соотношению (13) или (14), т. е. являются ортогональными, то и преобразование будет ортогональным.

Если введем столбцевые матрицы

то системы (17) и (18) можно записать так»

Если введем матрицы, транспонированные к матрицам (19):

то можем написать