что будем рассматривать преобразование пространства
в пространство
Это преобразование обладает тем свойством, что отрезок длины
переходит в отрезок той же длины l. Треугольник переходит в равный треугольник, следовательно, два вектора, выходящие из одной точки с углом
между ними, переходят в два вектора той же длины с тем же углом между ними.
Преобразование, обладающее указанным свойством, называется ортогональным.
Можно сказать, что при ортогональном преобразовании происходи! перемещение всего пространства как твердого тела или перемещение и зеркальное отображение. Определим матрицу этого преобразования.
Выразим единичные векторы
через единичные векторы
:
Здесь
Девять направляющих косинусов запишем в виде матрицы
Пользуясь соотношениями (4), можем также написать
Очевидно, что матрица
является транспонированной матрицей по отношению к матрице S. Так как
— единичные взаимно перпендикулярные векторы, то их векторно-скалярное произведение равно
Следовательно,
Аналогично
Вычислим произведение матриц
Действительно, если обозначить через
элементы матрицы произведения, то получаем
Аналогично
Итак,
Таким образом, транспонированная матрица S совпадает с обратной матрицей
:
Матрица, удовлетворяющая условиям (13) или (14), т. е. обратная своей транспонированной, называется ортогональной. Найдем далее формулы преобразования координат
в координаты
и обратно. В силу формул (3) и (6) правые части равенств (1) и (2) можно выразить как через базис
так и через базис
Следовательно, можно написать равенство
Умножая последовательно все члены равенства (15) на вектор
на вектор
на вектор
и учитывая, что
получим
Умножая члены равенства (15) последовательно на
получим
Итак, матрицей ортогональных преобразований (17) является матрица S, а матрицей обратного преобразования (18)-матрица S.
Таким образом, доказано, что в декартовой системе координат ортогональному преобразованию соответствует ортогональная матрица. Можно доказать, что если матрицы прямого и обратного преобразования (17) и (18) удовлетворяют соотношению (13) или (14), т. е. являются ортогональными, то и преобразование будет ортогональным.
Если введем столбцевые матрицы
то системы (17) и (18) можно записать так»
Если введем матрицы, транспонированные к матрицам (19):
то можем написать