§ 9. Две картины движения в квантовой механике. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния

В этом параграфе мы обсудим вопросы динамики квантовых систем. Основное предположение уже по существу было сделано в § 4, когда мы говорили о необходимости введения лиевской операции в алгебре наблюдаемых квантовой механики и о ее связи с динамикой. Поэтому мы прямо начнем с того, что постулируем так называемую картину Гейзенберга. Эта картина является аналогом классической картины Гамильтона. Так же как и в классической механике, в этой картине наблюдаемые А зависят, а состояния не зависят от времени

Здесь — оператор полной энергии системы, являющийся аналогом функции Гамильтона классической механики. Оператор иногда называют оператором Шредингера. Форма записи картины Гейзенберга точно такая же, как картины Гамильтона, только в правой части стоит квантовая скобка Пуассона вместо классической.

Как и в классической механике, уравнение

вместе с начальным условием

задает однопараметрическое семейство автоморфизмов алгебры наблюдаемых .

Зависимость среднего значения от времени определяется формулой

Уравнение (2) с начальным условием (3) имеет единственное решение, которое может быть записано в виде

Действительно,

Выполнение начального условия очевидно.

Оператор , который появился в записи решения (4), называется оператором эволюции. Оператор эволюции является унитарным оператором вследствие самосопряженности оператора

Множество операторов образует однопараметрическую группу

Если наблюдаемые и коммутируют, то и среднее значение наблюдаемой не зависит от времени. Такие наблюдаемые называются квантовыми интегралами движения.

В квантовой механике существует вторая эквивалентная картина движения, являющаяся аналогом классической картины Лиувилля. Для того чтобы сформулировать эту картину, преобразуем формулу для среднего значения

где

и является единственным решением уравнения

с начальным условием

Мы пришли к так называемой картине Шредингера. В этой картине зависящими от времени оказываются состояния

По самому способу введения картина Шредингера эквивалентна картине Гейзенберга, так как зависимость средних значений наблюдаемых в этих картинах является одинаковой.

Теперь рассмотрим зависимость от времени чистых состояний в картине Шредингера. Согласно общей формуле (5)

Подберем зависимость вектора состояний от времени так, чтобы выполнялось равенство

Проверим, что этому условию удовлетворяет

Пусть — произвольный вектор, тогда

Таким образом, зависимость от времени вектора по формуле (9) гарантирует правильную зависимость от времени чистого состояния. Заметим, что (9) не следует и не может следовать с необходимостью из (5), так как вектор состояния определяется состоянием с точностью до множителя по модулю, равного единице. Несмотря на это, в квантовой механике всегда считается, что зависимость векторов состояния от времени определяется формулой (9). Отметим, что эволюция не меняет нормировки вектора состояния,

так как — унитарный оператор.

Вектор удовлетворяет уравнению

и начальному условию

Уравнение (10) называется уравнением Шредингера и является основным уравнением квантовой механики.

Рассмотрим теперь состояния, которые в картине Шредингера не зависят от времени. Такие состояния называются стационарными. Очевидно, среднее значение любой наблюдаемой и вероятности ее определенных значений в стационарных состояниях от времени не зависят. Условие стационарности сразу следует из (6) и имеет вид

Рассмотрим чистые стационарные состояния. Из (11) имеем

Подействуем левой и правой частями этого равенства на вектор

Число от времени не зависит, и мы видим, что при любом t вектор является собственным вектором оператора с собственным значением Е. Поэтому уравнение Шредингера для вектора принимает вид

Решение этого уравнения:

Таким образом, чистые стационарные состояния — это состояния с определенной энергией, и вектор, определяющий такое состояние, зависит от времени по формуле (12). Уравнение

иногда называют стационарным уравнением Шредингера. Основные задачи квантовой механики сводятся к решению этого уравнения. Числа Ей согласно общему физическому толкованию, есть возможные значения энергии (энергетические уровни) системы. Состояние, соответствующее наименьшему значению энергии называется основным состоянием системы, остальные состояния — возбужденными. Если известны собственные векторы оператора , то легко может быть построено решение задачи Коши для уравнения Шредингера

Для этого достаточно разложить вектор по собственному базису оператора

и использовать формулу (9). Тогда мы получим решение задачи Коши в виде

Эту формулу называют обычно формулой разложения решения уравнения Шредингера по стационарным состояниям.

В заключение этого параграфа получим соотношение неопределенности время — энергия. Полагая в , имеем

Вспоминая, что в картине Гейзенберга и используя очевидное равенство соотношение (14) перепишем в виде

За время среднее значение наблюдаемой смещается на «ширину» распределения . Поэтому есть характерное для состояния и наблюдаемой А время, за которое функция распределения успевает заметно измениться. Из неравенства

следует, что множество значений для всевозможных наблюдаемых А в состоянии а ограничено снизу.

Полагая и обозначая через , получим, что для любого состояния справедливо неравенство

Это и есть соотношение неопределенности время — энергия. Физический смысл этого соотношения существенно отличается от смысла соотношений неопределенности (7.1). В формуле (7.1) и — неопределенности в значениях наблюдаемых A и В в состоянии в один и тот же момент времени. В соотношении (15) — неопределенность энергии, и она от времени не зависит, а характеризует время, за которое успевает заметно измениться распределение хотя бы одной из наблюдаемых. Чем меньше величина , тем больше состояние отличается от стационарного. Для сильно нестационарных состояний М мало и неопределенность энергии ДЕ должна быть достаточно велика. Наоборот, если , то В этом случае состояние является стационарным.