§ 36. Рассеяние одномерной частицы на потенциальном барьере

Изложение этого вопроса мы построим по следующему плану. Сначала мы сформулируем так называемую стационарную задачу о рассеянии. Для этого мы изучим решения уравнения некоторого специального вида. Физический смысл таких решений мы выясним позже, построив при их помощи решения нестационарного уравнения Шредингера . Для простоты записи мы используем систему единицы, в которой .

Оператор Шредингера в координатном представлении имеет вид

Функцию мы будем считать финитной и кусочно-непрерывной.

Условимся называть области вещественной оси областями I, II и III соответственно. Задача о рассеянии является задачей об инфинитном движении частицы. Такое движение возможно при и мы знаем, что при спектр оператора Шредингера непрерывен. С математической точки зрения задачи о рассеянии являются задачами о непрерывном спектре оператора Шредингера.

Стационарное уравнение Шредингера, которое на всей вещественной оси имеет вид

упрощается в областях I и II

Уравнение (3) имеет два линейно-независимых решения и Решения уравнения (2) на всей оси могут быть построены сшиванием решений в областях I—III. При сшивании мы должны использовать условия непрерывности решений и их первых производных в точках —а и а. Это накладывает четыре условия на шесть произвольных постоянных, входящих в выражения для общих решений в областях I—III. Пятым условием для этих постоянных является условие нормировки. Поэтому могут быть построены линейно-независимые решения уравнения (2), которые в областях имеют вид

Например, при построении решения мы, используя произвольность одной из констант, полагаем равным нулю коэффициент при в области II. Далее мы выбираем равным единице коэффициент при в области I, тем самым определяя нормировку функции Коэффициенты А и В находятся из условий сшивания вместе с постоянными тип, где — общее решение (2) в области II. Нетрудно убедиться, что условия сшивания приводят к линейной неоднородной системе уравнений для и с определителем, отличным от нуля, если линейно-независимы. Аналогично строится решение Линейная независимость решений следует из того, что вронскиан этих решений не равен нулю.

Выясним свойства коэффициентов А, В, С и D. Для этого заметим, что вронскиан решений уравнения (2) не зависит от Действительно, пусть удовлетворяют (2), тогда

Умножая первое из равенств на второе на и вычитая одно из другого, получим

Используя это свойство, мы можем приравнивать вронскианы для любой пары решений в областях и II. Выбирая в качестве таких пар решений последовательно и используя равенства: мы придем к следующим соотношениям между коэффициентами А, В, С и D:

(Например, в области , а в области . Приравнивая эти выражения, получим соотношение .)

Соотношения (5) — (8) показывают, что матрица S, составленная из коэффициентов

является симметричной и унитарной. Эта матрица называется матрицей рассеяния или просто S-матрицей. Мы увидим в дальнейшем, что все физически интересные результаты могут

быть получены, если известна S-матрица, поэтому вычисление ее элементов является основной задачей одномерной теории рассеяния.

Рассмотрим вопрос о нормировке функций

Имеют место формулы

т. е. справедливы те же соотношения, что и для функций и и нормировка не зависит, от вида потенциала . Интегралы в формулах (9) и (10) понимаются в смысле главного значения. Мы проверим (10) для функции Остальные два соотношения проверяются так же. Подстановка функций в уравнение (2) приводит к равенствам

(Мы не пишем индекс 1 в обозначении решения для сокращения записи.) Домножая (11) на , а (12) на и вычитая первое из второго, получим

Интегрируя это равенство, будем иметь

Нас интересует предел в смысле обобщенных функций интеграла, стоящего в левой части (13), при . Уже из формулы (13) видно, что этот предел зависит только от вида решений в областях I и II (для случая инфинитных потенциалов только от асимптотики решений при ). После простых вычислений получим

Второе слагаемое по теореме Римана — Лебега стремится к нулю (в смысле обобщенных функций). Подобное утверждение несправедливо по отношению к первому слагаемому, так как оно сингулярно при . Сингулярная часть этого слагаемого не изменится, если заменить на соответственно. Используя (6), имеем

где

Наконец, используя известную формулу

получим

что совпадает с (10).