§ 28. Представление группы вращений в пространстве целых аналитических функций двух комплексных переменных

В этом параграфе построим все неприводимые представления группы вращений. В качестве пространства представлений мы выберем гильбертово пространство функций вида

со скалярным произведением

Точно так же, как в § 19, проверяется, что функций образуют ортонормированный базис в этом пространстве . Учитывая связь между группами мы можем строить представление группы . В дальнейшем удобно обозначать через где . Отображение определим формулой

Мы будем эти операторы обозначать также через или , а операторы вращений вокруг осей через .

Чтобы получить выражение для найдем инфинитезимальные операторы представления, которые обозначим через

Здесь мы использовали определение (1) и через обозначили составляющие вектора . Последние производные вычисляются так:

поэтому

В результате получим

Точно так же находятся операторы . Выпишем выражения для этих операторов:

Легко проверить, что операторы имеют такие перестановочные соотношения, как операторы момента импульса, — как матрицы . Для операторов получим

Основное удобство пространства представления состоит в том, что оно очень легко раскладывается в прямую сумму инвариантных подпространств, в которых действуют неприводимые представления. Действительно, инвариантность некоторого подпространства относительно операторов эквивалентна инвариантности относительно действря операторов Из формул (2) видно, что такими инвариантными подпространствами являются подпространства однородных многочленов степени Эти подпространства имеют размерность Нам осталось показать, что такие подпространства не содержат инвариантных подпространств меньшей размерности. Для этого введем операторы

и посмотрим, как они действуют на базисные векторы

Очевидно, что

Из формул (5) ясно, что подпространства однородных многочленов не содержат инвариантных подпространств меньшей размерности.

Покажем, что базисные векторы являются собственными векторами оператора и оператора . Имеем

Для оператора справедлива формула

Действительно,

Далее имеем

Удобно переписать все полученные соотношения, заменив значки на по формулам

или

Тогда формулы (5) — (7) принимают вид

(10)

где через обозначена .

Новые значки и удобны тем, что каждому индексу соответствует представление размерности . Такое представление обычно обозначают через называют индексом представления. Формулы (8) — (10) позволяют легко построить явный вид матриц для каждого Таким образом, мы построили конечномерные представления группы вращений всех размерностей.