§ 49. Симметрия координатных волновых функций системы двух электронов. Атом гелия

Электроны являются фермионами, поэтому волновая функция для системы двух электронов должна быть антисимметричной

Разложим функцию по введенным в § 47 базисным функциям

Первые три слагаемых в этой сумме соответствуют состояниям с полным спином единица, а четвертое описывает состояние с полным спином нуль. Введенные соотношением (1) функции называются координатными волновыми функциями в отличие от которую называют полной волновой функцией. В § 47 мы видели, что при являются симметричными относительно перестановки спиновых переменных, — антисимметричная функция. Тогда из антисимметричности полной функции следует, что

т. е. координатные волновые функции для состояний со спином единица являются антисимметричными, а для состояний со спином нуль — симметричными.

Применим этот результат к атому гелия. Оператор Шредингера для атома гелия в пренебрежении спиновыми взаимодействиями имеет вид

Если является решением уравнения

то и координатные функции удовлетворяют уравнению Шредингера с тем же собственным значением Е. Поэтому задача сводится к отысканию решений уравнения

в подпространствах симметричных или антисимметричных функций. Ясно, что решений уравнения (2) в каждом из таких подпространств меньше, чем в пространстве . Те значения Е, для которых уравнение (2) имеет решение в подпространстве антисимметричных функций , соответствуют состояниям со спином единица, а те значения Е, для которых существуют симметричные решения уравнения (2), соответствуют состояниям со спином нуль.

Мы видим, что уровни энергии атома гелия зависят от полного спина даже в пренебрежении спиновыми взаимодействиями в операторе Шредингера. Эта зависимость является следствием принципа тождественности и возникает через симметрию координатных волновых функций.

Можно доказать, что основному состоянию атома гелия соответствует симметричная координатная волновая функция, т. е. спин атома гелия в основном состоянии равен нулю.

Интересно отметить, что переходы с испусканием или поглощением квантов между состояниями с оказываются маловероятными. Поэтому оптический спектр гелия таков, как если бы существовало два сорта гелия с . Первый сорт гелия называют парагелием, а второй — ортогелием. Каждому энергетическому уровню парагелия соответствует одно спиновое состояние а уровню ортогелия — три спиновых состояния Поэтому состояния парагелия называют синглетными, а ортогелия — триплетными. Учет спиновых взаимодействий приводит к расщеплению триплетных уровней энергии на три близких