§ 19. Представление состояний одномерной частицы в пространстве целых аналитических функций

Рассмотрим множество функций комплексного переменного вида

Это множество функций становится гильбертовым пространством, если скалярное произведение определить формулой

Интеграл берется по комплексной плоскости и .

Проверим, что функции образуют ортонормированный базис в . Для этого вычислим интеграл

При за счет интегрирования по При имеем

Произвольное состояние может быть представлено функцией . Собственные векторы осциллятора представляются базисными функциями .

Посмотрим, как действуют операторы а и а* в таком представлении. Используя выкладки, которые привели нас к формулам (18.2) и (18.3), мы можем записать векторы в виде

Эти векторы представляются функциями

т. е. для операторов а и а* мы получили представление

Выпишем соответствующие формулы для операторов

Все основные соотношения могут быть легко проверены в таком представлении. Построенное представление может оказаться удобным, если изучаемые наблюдаемые есть полиномы от Q и Р.