§ 20. Общий случай одномерного движения

В предыдущих параграфах мы рассмотрели две одномерные задачи квантовой механики — задачи о свободной частице и о гармоническом осцилляторе. Свободная частица дает нам пример системы с непрерывным спектром для оператора Шредингера,

а гармонический осциллятор — с чисто точечным спектром. В большинстве реальных физических задач спектр оказывается более сложным. Рассмотрим задачу о спектре оператора Шредингера

при весьма общих предположениях о потенциале.

Рис. 6.

Обычно силы, действующие на частицу, заметно отличны от нуля в какой-то конечной области на оси и стремятся к нулю при , поэтому наиболее часто встречаются потенциалы , которые стремятся к постоянным значениям при . Для простоты рассуждений мы ограничимся случаем, когда потенциал строго равен постоянным при и при . Используя произвол в определении потенциала, одну из этих постоянных всегда можно считать равной нулю. Рассмотрим уравнения Шредингера

при условии, что непрерывная функция на вещественной оси, и при при . Для определенности будем считать, что График потенциала изображен на рис. 6.

При уравнение Шредингера (1) упрощается

При любых значениях Е существует два линейно-независимых решения уравнения (1), которые мы обозначим через . Общее решение этого уравнения

При изучении спектра оператора нас интересуют либо квадратично интегрируемые решения уравнения (1), которые являются собственными функциями оператора , либо решения, ограниченные на всей вещественной оси. При помощи последних может быть описан непрерывный спектр оператора . Рассмотрим теперь три случая.

Уравнения (2) и (3) перепишем в виде

Линейно-независимыми решениями этих уравнений являются функции при при Поэтому произвольное решение (4) уравнения (1) в области имеет вид , а в области . Здесь — некоторые постоянные, линейно зависящие от формулы (4). Решение будет квадратично интегрируемым при условиях Уже одного из этих условий достаточно для того, чтобы была определена с точностью до численного множителя. Из условия может быть найдено отношение коэффициентов которые будут зависеть от параметра Е,

Аналогично из условия получим

Квадратично интегрируемое решение будет существовать только при тех значениях Е, для которых

Корни этого алгебраического уравнения, если они существуют, являются собственными значениями оператора . Из приведенных соображений естественно ожидать налнчие простого точечного спектра при

Уравнения (2) и (3) запишем в виде

Линейно-независимыми решениями являются функции при при Сразу видно, что квадратично интегрируемых решений нет, а ограниченное решение может быть

построено, если выбрать так, чтобы имела вид при . Поэтому в интервале спектр является простым непрерывным.

В этом случае оба уравнения (2) и (3) имеют осциллирующие решения при при , поэтому любое решение уравнения (1) является ограниченным, а квадратично интегрируемых решений нет. Спектр оператора при непрерывный, двукратный.

На рис. 6 собственные значения оператора изображены горизонтальными линиями, обычной штриховкой показана область простого непрерывного спектра, а двойной штриховкой — область двукратного спектра.

Обсудим физический смысл решений уравнения (1). Квадратично интегрируемые решения описывают стационарные состояния с энергией, равной собственному значению. Эти функции экспоненциально убывают при поэтому вероятность обнаружить частицу вне некоторой конечной области близка к нулю. Ясно, что такие состояния соответствуют финитному движению частицы. Собственные функции непрерывного спектра непосредственного физического смысла не имеют, так как они не принадлежат пространству состояний. Однако с их помощью могут быть построены состояния типа волновых пакетов, которые мы рассматривали для свободной частицы. Эти состояния могут быть истолкованы как состояния с почти заданной энергией. Изучение эволюции таких состояний показывает, что они описывают частицу, которая при уходит на бесконечность (инфинитное движение). К этому вопросу мы еще вернемся, когда будем изучать теорию рассеяния.

В классической механике, как и в квантовой, при движение является финитным, а при — инфинитным. При частица может уйти на бесконечность по одному направлению, а при — по двум. Обратим внимание на то, что кратность непрерывного спектра совпадает с числом направлений, по которым частица может уйти на бесконечность.

На примере частицы в одномерной потенциальной яме рассмотрим вопрос о классическом пределе квантовых стационарных состояний. Для вычисления предела (14.15) удобно использовать асимптотический вид решения уравнения Шредингера при Методы построения асимптотических решений уравнения Шредингера при носят название квазиклассических методов. Мы применим один из таких методов — метод целя, Крамерса, Бриллюэна (ВКБ).

Уравнение Шредингера запишем в виде

Здесь, как и прежде, мы используем систему единиц, в которой . Полагая , получим уравнение для функции g(x)

(6)

Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по степеням

Подставляя (7) в (5), имеем

Приравнивая коэффициенты при , получим систему реккурентных уравнений для функций :

Из (8) находим

Здесь при есть классическое выражение для абсолютной величины импульса частицы с энергией Е в поле . При функция становится чисто мнимой. Полагая из (9) получаем

Ограничиваясь этими членами разложения (7), получим асимптотический вид при для двух линейно-независимых решений уравнений Шредингера

при . Функции (10) иногда называют ВКБ-решениями уравнения Шредингера.

Точная теория метода ВКБ довольно сложна. Известно, что ряд (7) в общем случае расходится и представляет собой асимптотический ряд. Конечное число членов этого ряда позволяет построить хорошее приближение для функции если постоянную

Планка h можно считать достаточно малой в условиях конкретной задачи.

В дальнейшем будем считать, что потенциал при и пусть Предположим, что при имеется две точки , удовлетворяющие условию Это так называемые точки поворота, в которых частица, согласно классической механике меняет направление движения на противоположное. Нетрудно понять, что в классически запрещенной области или одно из ВКБ-решений экспоненциально возрастает, а второе — затухает при удалении от точки поворота в глубь запрещенной области. При ВКБ-решения совпадают с точными и имеют вид где . Вспомним, что собственная функция дискретного спектра оператора Н экспоненциально убывает при При собственная функция в разрешенной области должна совпадать с некоторой линейной комбинацией ВКБ-решений . Построение такой линейной комбинации является сравнительно сложной задачей, так как ВКБ-решения теряют смысл в точках поворота. Можно показать, что условия убывания функции при выполняются, если

Аналогично из условий убывания при следует, что . Эти два выражения для совпадают, если

(13)

Условие (13) определяет собственные значения энергии в квазиклассическом приближении и соответствует правилу квантования Бора — Зоммерфельда в старой квантовой теории.

Перейдем к вычислению классического предела квантового состояния. Предел при можно находить при различных условиях. Можно, например, рассмотреть состояние, соответствующее собственному значению энергии при фиксированном значении числа n из условия (13). Легко видеть, что тогда при и в пределе получится состояние

покоящейся частицы на дне потенциальной ямы. Мы разберем более интересный случай: , а энергия Е остается постоянной. (Заметим, что в данном случае интеграл в левой

части (13) от не зависит и пробегая некоторую последовательность значений.) Подставляя в формулу (14.15) асимптотическое выражение (11) для , получим

Все нормировочные множители мы обозначаем буквой С. Предел второго слагаемого в смысле обобщенных функций равен нулю, поэтому

Используя (14.16), найдем функцию распределения для предельного классического состояния

Окончательно получим

Состояние, описываемое функцией имеет очень простой смысл. В этом состоянии плотность функции распределения координаты обратно пропорциональна классической скорости частицы, а импульс частицы в точке q с равной вероятностью может принимать два значения Формула (14) была получена для разрешенной области. Нетрудно таким же способом проверить, что в запрещенной области