§ 11. Координатное и импульсное представления

Опишем наиболее часто используемое в квантовой механике так называемое координатное представление. Иногда его называют представлением Шредингера. В этом представлении в качестве пространства состояний для материальной точки выбирается

пространство квадратично Интегрируемых комплекснозначных функций . Скалярное произведение определяется равенством

Операторы вводятся формулами

Это неограниченные операторы, что соответствует физическому смыслу наблюдаемых, так как численные значения координат и импульсов неограничены. На области D, образованной бесконечно дифференцируемыми функциями, убывающими быстрее любой степени, определены сами операторы и и любые их целые положительные степени. Очевидно, область D плотна в . Можно показать, что операторы и имеют единственные самосопряженные расширения по замыканию. Симметрия этих операторов проверяется просто. Например, для и любых функций интегрируя по частям, имеем

Проверим перестановочные соотношения (10.7). Первые два из них очевидны, а третье следует из равенств

Таким образом, мы действительно построили представление соотношений (10.7) линейными операторами. Неприводимость этого представления мы докажем позже.

Приведем еще один пример представления (импульсное представление). В этом представлении пространство состояний тоже является комплексным пространством с элементами а операторы и определяются следующим образом:

Перестановочные соотношения (10.7) проверяются так же, как для координатного представления, и так же доказывается неприводимость. По теореме Неймана — Стоуна эти представления унитарно эквивалентны, т. е. должно существовать унитарное преобразование

при котором операторы, определенные формулами (3), превращаются в операторы (2). Нетрудно видеть, что таким преобразованием является преобразование Фурье

Унитарность преобразования Фурье следует из равенства Парсеваля

Применяя оператор выражению (4), получим

Мы видим, что при унитарном преобразовании W оператор превращается в оператор умножения на переменную .

Аналогично проверяется, что

Таким образом, мы проверили унитарную эквивалентность координатного и импульсного представлений.

Выпишем формулы преобразования интегральных операторов при переходе от координатного к импульсному представлению:

где

Если оператор в координатном представлении является оператором умножения на функцию , то его можно рассматривать как интегральный с ядром

В импульсном представлении ядро такого оператора зависит только от разности переменных и имеет вид

Формулы преобразования от импульсного представления к координатному отличаются знаком в показателях экспонент

и если

Выясним теперь физический смысл функций которые обычно называют волновыми функциями. Начнем с волновой функции в координатном представлении представлении операторы есть операторы умножения на переменные т. е. координатное представление является собственным для операторов . Чтобы пояснить это, сделаем небольшое математическое отступление.

Задать функциональное представление гильбертова пространства — это значит задать взаимно-однозначное соответствие между векторами этого пространства и функциями вещественной

переменной и задать меру на вещественной оси так, что

Значения функции могут быть комплексными числами или функциями от других переменных, т. е. являться элементами какого-то дополнительного пространства, и тогда обозначает скалярное произведение в этом дополнительном пространстве. В первом случае представление называется простым, а во втором — кратным. Две функции следует считать равными, если они отличаются только на множестве -меры нуль.

Представление называется спектральным для оператора А, если действие этого оператора сводится к умножению на некоторую функцию

Представление называется прямым или собственным для оператора А, если ,

Спектр оператора А может быть описан как носитель функции распределения меры. Скачки меры соответствуют собственным числам. Если мера абсолютно непрерывна, то спектр непрерывный.

Напомним, что в конечномерном пространстве мы называли собственным для оператора А такое представление, в котором векторы задавались коэффициентами разложения собственному базису оператора А. Пусть спектр оператора А простой

Вектору можно сопоставить функцию такую, что (значения функции ) при выбираются произвольно). Функцию распределения меры выберем кусочно-постоянной с единичными скачками при Оператор А тогда можно задать формулой

так как эта запись эквивалентна обычной

Кратному собственному значению соответствует несколько собственных векторов. Мы можем ввести функцию , значение которой в точке есть вектор с компонентами . В этом случае представление будет кратным, и кратность его равна кратности n собственного числа .

Мы видим, что оператор в собственном представлении является аналогом диагональной матрицы в .

В собственном представлении оператора А легко описать функцию

В частности, для спектральной функции оператора формула (10) дает

Спектр оператора А будет полностью описан, если для оператора А удастся построить его спектральное представление. Преобразование, которое переводит данное представление в спектральное, называется спектральным преобразованием.

Вернемся к координатному представлению. Мы видим, что оно действительно является собственным кратным представлением для трех операторов

Значение есть вектор дополнительного пространства, в данном случае функция от переменных . Скалярное произведение определяется формулой

т. е. в координатном представлении мера есть лебегова мера, носитель ее функции распределения — вся вещественная ось, а значит, спектр координаты непрерывный и заполняет всю ось.

Функция распределения координаты в чистом состоянии имеет вид

откуда следует, что

есть плотность функции распределения координаты Аналогично записываются выражения для плотности функций распределения . Естественно ожидать, что есть

плотность общей для всех координат функции распределения, т. е. вероятность найти частицу в области Q трехмерного пространства определяется выражением . Это утверждение мы проверим в разделе, посвященном системам коммутирующих наблюдаемых.

Импульсное представление является собственным для трех операторов есть плотность общей для трех проекций импульса функции распределения.

Мы можем теперь с новой точки зрения взглянуть на соотношения неопределенности для координат и импульсов. Мы видим, что эти соотношения объясняются известным свойством преобразования Фурье. Чем сильнее концентрируется функция и тем самым уменьшаются неопределенности координат тем сильнее расплывается Фурье-образ и увеличиваются неопределенности импульсов