§ 37. Физический смысл решений

Для того чтобы выяснить физический смысл решений и построим с их помощью решения нестационарного уравнения Шредингера

Рассмотрим решение уравнения Шредингера, построенное по функции

Относительно функции мы предположим, что она отлична от нуля в малой окрестности точки . В этом случае имеет наиболее простой физический смысл. Кроме того, будем считать, что

тогда из (36.10) следует, что

т. е. решение имеет правильную нормировку. Используя сосредоточенность функции в окрестности точки и непрерывность функций можно записать приближенные выражения для функции в областях I и II:

где

Функции являются нормированными решениями уравнения Шредингера для свободной частицы и изучались в § 15. Там же были построены асимптотические выражения для этих решений при

где — вещественная функция, вид которой для нас несуществен. Из этого выражения видно, что функции при отличны от нуля только в окрестности точек Поэтому описывает состояние свободной частицы, движущейся слева направо со скоростью — частицу, имеющую противоположное направление скорости (напомним, что ).

Теперь легко понять, какими свойствами обладает решение при . Пусть . Тогда в областях I и II имеем

так как при при при . Аналогично при

Мы видим, что задолго до рассеяния частица с вероятностью, равной единице, находится слева от барьера и движется по направлению к барьеру со скоростью

Вычислим вероятности обнаружить частицу при в областях I и II соответственно. Имеем

Замена области интегрирования I на всю вещественную ось возможна, так как при , только в области I.

Точно так же проверяется, что

Графики функции как функции от при изображены на рис. 12.

Рис. 12.

Таким образом, решение уравнения Шредингера описывает частицу, которая до рассеяния приближается к потенциальному барьеру со скоростью и с вероятностью отражается от барьера или с вероятностью проходит через потенциальный барьер

Обратим внимание на то, что результат не зависит от вида функции важно только, чтобы интервал , в котором отлична от нуля, был мал. Физически это требование понятно, если мы хотим экспериментально найти зависимость,

например, коэффициента отражения от k, должны использовать частицы, находящиеся в состоянии с возможно меньшей дисперсией k (состояний нулевой дисперсией не существует). При конкретных расчетах коэффициентов отражения и прохождения нет необходимости решать нестационарное уравнение Шредингера, достаточно найти решение Заметим, что решение которое можно построить по функции имеет такой же смысл, только частица приближается к барьеру справа.

Вспомним свойства матрицы рассеяния S. Равенство приводит к равенству вероятностей прохождения через барьер в противоположных направлениях и, как можно показать, является следствием инвариантности уравнения Шредингера относительно обращения времени. Равенства

выражают закон сохранения вероятности. Действительно, нормировка решений от времени не зависит, а при имеем