§ 14. Взаимосвязь квантовой и классической механики. Предельный переход от квантовой механики к классической

Известно, что поведение макроскопических систем хорошо описывается классической механикой, и квантовая механика при переходе к макрообъектам должна приводить к тем же результатам. Критерием «квантовости» поведения системы может являться сравнительная величина характерных для системы численных значений наблюдаемых, имеющих размерность действия, и постоянной Планка . Если постоянная Планка пренебрежимо мала по сравнению со значениями таких наблюдаемых, то система должна иметь классическое поведение. Формально переход от квантовой механики к классической может быть описан, как предельный переход при . Разумеется, при таком предельном переходе способы описания механических систем остаются различными (операторы в гильбертовом пространстве не могут превращаться в функции на фазовом пространстве), но физические результаты квантовой механики при должны совпадать с классическими.

Мы опять рассмотрим систему с одной степенью свободы. Изложение будет вестись по следующему плану.

Сначала вещественным функциям на фазовом пространстве мы сопоставим по некоторому правилу самосопряженные операторы .

Далее мы найдем формулу обращения, позволяющую по оператору восстановить функцию . Тем самым будет установлено взаимно-однозначное соответствие между вещественными функциями на фазовом пространстве и самосопряженными операторами в . При этом справедливой оказывается формула

Наконец, мы найдем, какие функции на фазовом пространстве соответствуют произведению и квантовой скобке Пуассона . Мы увидим, что эти функции не совпадают с произведением и классической скобкой Пуассона , но в пределе при стремятся к ним. Таким образом мы убедимся, что алгебра наблюдаемых квантовой механики неизоморфна алгебре наблюдаемых классической механики, но при взаимно-однозначное соответствие становится изоморфизмом.

Пусть квантовая система с оператором Шредингера Н находится в состоянии М, и пусть — некоторая наблюдаемая для этой системы. Описанное взаимно-однозначное соответствие позволяет сопоставить операторам Н, М и функцию Гамильтона функцию и наблюдаемую . Введем Из формулы (1) следует, что

Формула (2) показывает, что функция имеет правильную нормировку, а формула (3) утверждает, что в пределе при среднее значение наблюдаемой в квантовой механике совпадает со средним значением соответствующей классической наблюдаемой . Далее пусть эволюция квантовой системы описывается картиной Гейзенберга и соответствие установлено для щоизвольного момента времени t.

Покажем, что при классическая наблюдаемая правильно зависит от времени. Оператор удовлетворяет уравнению

Из линейности соответствия следует, что , кроме того, при поэтому при О классическое уравнение

является следствием квантового уравнения (4).

Перейдем к подробному изложению. Рассмотрим некоторую функцию и обозначим через ее преобразование Фурье

Преобразование Фурье вещественной функции обладает свойством

Для построения оператора соответствующего функции хотелось бы заменить переменные q и р в (5) на операторы Q и Р. Сразу, однако, неясно, в каком порядке следует писать некоммутирующие множители , перестановочные соотношения для которых имеют вид

(8)

Естественный (но отнюдь не единственный) рецепт, обеспечивающий самосопряженность, был предложен Г. Вейлем и имеет вид

Появление дополнительного множителя связано с некоммутативностью и обеспечивает самосопряженность

оператора . Действительно, используя (7) и (8), имеем

В конце этого параграфа мы проверим, что по формуле (9) функциям соответствуют операторы в полном согласии со сделанными прежде предположениями.

Найдем теперь формулу обращения. При вычислении следа оператора К мы будем пользоваться формулой

где - ядро оператора . Найдем ядро оператора . Из формулы

следует, что ядром интегрального оператора является функция

По формуле (10) имеем

Проверим, что формула обращения имеет вид

Для этого сосчитаем правую часть равенства, используя (8) и (11),

Положим в формуле

С другой стороны,

и мы убеждаемся в справедливости формулы (1).

Теперь нам осталось найти по формуле (12) функции на фазовом пространстве, соответствующие и убедиться, что при эти функции стремятся к . Сначала найдем функцию соответствующую несимметризованному произведению . Для ее Фурье-образа имеем

Окончательно

Показатель в экспоненте был преобразован с учетом стоящих под знаком интеграла -функций. Напомним, что преобразование Фурье произведения двух функций

есть свертка преобразований Фурье сомножителей

Функция отличается от функции множителем который стоит под знаком интеграла. Этот множитель зависит от порядка операторов поэтому операторам и соответствуют разные функции на фазовом пространстве. В пределе при и . Разумеется, это утверждение справедливо и для функции , соответствующей симметризованному произведению .

Обозначим через функцию, соответствующую квантовой скобке Пуассона

Из формулы (13) получаем

и при

Интеграл, стоящий в правой части, является преобразованием Фурье от классической скобки Пуассона

так как преобразованиями Фурье производных являются функции соответственно.

Таким образом, мы проверили все утверждения, сделанные в начале параграфа.

В заключение приведем несколько примеров вычислений по формулам этого параграфа.

Найдем формулу для ядра оператора в координатном представлении. Используя формулу

получим

Покажем, что . Для такой функции на фазовом пространстве

Здесь через обозначено преобразование Фурье функции одной переменной Далее по формуле (14)

а оператор с таким ядром является оператором умножения на функцию Точно так же в импульсном представлении легко проверить, что .

Получим явную формулу, по которой можно найти классическое состояние, соответствующее пределу чистого квантового состояния при

Используя формулу обращения, найдем соответствующую оператору и построим . Вектор считаем заданным в координатном представлении. Из формулы

следует, что

Если ввести функцию

то

есть Фурье-образ классической функции распределения, соответствующей пределу состояния Р при Для самой функции распределения справедлива формула

Пусть - непрерывная функция и не зависит от h как от параметра. Тогда

и

Такому квантовому состоянию в пределе соответствует состояние покоящейся частицы с плотностью функции распределения координаты

Пусть , где от h не зависит и непрерывна. В этом случае в пределе при мы придем к классическому состоянию с функцией распределения

На этих примерах мы видим, что чистому состоянию квантовой механики в пределе при может соответствовать смешанное классическое состояние.