§ 15. Одномерные задачи квантовой механики. Свободная одномерная частица

В § 15—20 мы рассмотрим одномерные задачи квантовой механики. Функция Гамильтона для частицы с одной степенью свободы в потенциальном поле имеет вид

Этой функции Гамильтона соответствует оператор Шредингера

Для свободной частицы . Мы начнем с изучения этой простейшей задачи квантовой механики. Найдем спектр оператора Шредингера

Уравнение для собственных векторов имеет вид

или в координатном представлении

Удобно использовать систему единиц, в которой и . Тогда уравнение (2) при принимает вид

Последнее уравнение имеет два линейно-независимых решения

Мы видим, что каждому значению соответствует две собственных функции оператора Н. При уравнение (3) не имеет ограниченных на всей вещественной оси решений. Таким образом, спектр оператора Шредингера - непрерывный, положительный, двукратный.

Функции (5) одновременно являются и собственными функциями оператора импульса — соответствующими собственным значениям . Заметим, что функции (5) не принадлежат и поэтому не являются собственными функциями в обычном смысле. Для записи последующих формул удобно считать, что . Тогда оба решения (5) имеют вид

Нормирующий множитель в (6) выбран из условия

Столь же просто получаются решения уравнения (2) в импульсном представлении. При уравнение (2) имеет вид

а его решениями являются функции

Нормировка функций (9) выбрана такой же, как и функций (6),

Для того чтобы выяснить физический смысл собственных функций построим решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы

при начальном условии

Проще всего эта задача решается в импульсном представлении

Очевидно, что

В координатном представлении это же состояние описывается функцией

Легко проверить, что нормировка функции не зависит от времени

Формулу (10) можно рассматривать и как разложение решения уравнения Шредингера по стационарным состояниям, т. е. как обобщение формулы (9.13) на случай непрерывного спектра. Роль коэффициентов здесь играет функция .

Состояние, описываемое функциями или имеет наиболее простой физический смысл в том случае, когда отлична от нуля в некоторой малой окрестности точки . Состояния такого типа обычно называют волновыми пакетами. График функции изображен на рис. 4.

Напомним, что есть плотность функции распределения импульса. Тот факт, что эта плотность не зависит от времени, есть следствие закона сохранения импульса для. свободной частицы. Если распределение сосредоточено

в окрестности точки , то состояние может быть истолковано как состояние с почти точно заданным импульсом.

Функция есть плотность функции распределения координаты. Проследим за ее эволюцией во времени. Прежде всего из теоремы Рима на — Лебега следует, что для гладкой при поэтому стремится к нулю взятый по любой конечной области вещественной оси . Это значит, что при частица уходит из любой конечной области, т. е. движение инфинитно.

Рис. 4.

Для того чтобы более подробно проследить за движением частицы при больших используем метод стационарной фазы. Этот метод применяется для асимптотического вычисления интегралов вида

при . Для случая гладких функций f(x) и F(x) и при наличии одной точки стационарности функции в интервале имеет место формула

Перепишем выражение для в форме

Верхний знак в экспоненте соответствует нижний найдем асимптотику функции при по формуле (12). Точка стационарности находится из условия

откуда . Далее и при

где — вещественная функция, вид которой для дальнейшего неважен.

По предположению функция отлична от нуля только в малой окрестности точки , поэтому отлична от нуля только вблизи точки . Из этого соотношения видно, что область, в которой отлична от нуля вероятность найти частицу, перемещается вдоль оси с постоянной скоростью остается справедливой классическая связь между импульсом и скоростью р — то (напомним, что мы положили ). Далее из асимптотического выражения для ясно, что для корня из дисперсии координаты при больших значениях справедлива формула

или

Это означает, что область, в которой велика вероятность обнаружить частицу, передвигаясь вдоль оси будет расплываться со скоростью

Нетрудно понять без всяких вычислений, что поведение классической свободной частицы, находящейся в состоянии с ненулевыми дисперсиями координаты и импульса, будет точно таким же. Таким образом, квантовая механика приводит практически к тем же результатам для свободной частицы, что и классическая. Единственное отличие состоит в том, что в квантовой механике, согласно соотношению неопределенностей, нет состояний с нулевыми дисперсиями координаты и импульса.

Отметим еще некоторые формальные свойства решения уравнения Шредингера для свободной частицы. Из соотношения (13) следует, что

т. е. при любых имеет место неравенство

где С — некоторая константа. Естественно ожидать поэтому, что вектор слабо стремится к нулю при Проще всего это утверждение доказывается в импульсном представлении.

Для произвольного вектора имеем

Последний интеграл стремится к нулю при по теореме Римана — Лебега.

В координатном же представлении слабая сходимость к нулю имеет очень простой смысл. Постоянный вектор f задается функцией, которая заметно отлична от нуля лишь в некоторой конечной области Q, а область, в которой отлична от нуля функция , расплываясь, уходит на бесконечность. Поэтому при .

Проверим, что асимптотическое выражение (13) для функции t) имеет правильную нормировку. При имеем