§ 27. Представление вращений унитарными матрицами второго порядка

Мы построим представление группы вращений G, действующее в пространстве . Для этого введем три самосопряженные матрицы со следом, равным нулю,

Эти матрицы называются матрицами Паули. Вычислим перестановочные соотношения для этих матриц:

т.е. . Аналогично проверяется, что

Нетрудно видеть, что матрицы имеют перестановочные соотношения такие же, как инфинитезимальные образующие группы вращения

Поэтому можно построить представление :

Следует отметить, что это представление не является представлением в обычном смысле слова, так как вместо

мы будем иметь

где . В этом нетрудно убедиться на простом примере, сосчитав произведение , где есть вращение на угол я вокруг оси

В то же время по формуле (1) единичному элементу группы соответствует Отображение удовлетворяющее (3) при называется проективным представлением с мультипликатором. Если мы все-таки захотим сохранить (2), то должны будем считать, что каждому вращению соответствует две матрицы U, отличающиеся знаком. В физике такого рода представления называют двузначными. Эти представления играют в квантовой механике такую же важную роль, как и обычные. В дальнейшем мы не будем подчеркивать это различие. Заметим еще, что появление такого рода представлений объясняется тем, что группа вращений неодносвязна.

Выясним свойства матриц . Унитарность этих матриц очевидна, так как — самосопряженные матрицы. Нетрудно

видеть, что определитель этих матриц равен единице. Действительно, имеет вид , где S — самосопряженная матрица со следом, равным нулю. Эту матрицу всегда можно привести к диагональному виду подобным преобразованием и она примет вид . Соответственно диагональный вид матрицы будет инвариантны относительно подобного преобразования, поэтому .

Найдем общий вид унитарных матриц с определителем, равным единице. Запишем условие унитарности:

Из равенства находим, что . Из условий получим

Таким образом, унитарные матрицы с определителем, равным единице, имеют вид

Группа таких матриц называется группой