§ 24. Группа вращений

Обозначим через G совокупность всех вращений пространства. вокруг начала координат. Каждое вращение порождает линейное преобразование трехмерного пространства

где теперь мы буквой g обозначили матрицу которая называется матрицей вращения. Хорошо известно, что g является ортогональной матрицей и Верно и обратное: каждой такой матрице соответствует определенное вращение. Поэтому в дальнейшем мы будем отождествлять вращения и их матрицы. Группа вещественных ортогональных матриц третьего порядка с определителем, равным единице, называется группой или группой вращений.

Существует несколько способов параметризации вращений. Так, в теоретической механике часто используются углы Эйлера. Для наших целей наиболее удобно задавать вращение вектором который направлен по оси вращения и длина которого а равна углу поворота. При этом считается, что направление вращения и направление вектора а образуют правый винт, и угол поворота а не превосходит . Если откладывать векторы а от одной точки, то их концы будут заполнять шар радиуса . Различным внутренним точкам этого шара будут соответствовать различные вращения, а диаметрально противоположным точкам границы одинаковые вращения.

Таким образом, группа вращений топологически эквивалентна шару, у которого отождествлены противоположные точки границы.

Установим связь между группой вращений и алгеброй Ли кососимметрических матриц третьего порядка.

Матрица А называется кососимметрической, если . Произвольная кососимметрическая матрица задаётся тремя

параметрами и имеет вид

Совокупность кососимметрических матриц становится алгеброй Ли, если в качестве лиевской операции взять коммутатор . Это утверждение следует из свойств коммутаторов и равенства . Последнее проверяется непосредственно:

В качестве образующих алгебры Ли удобно выбрать матрицы

Любая кососимметрическая матрица может быть представлена в виде

Найдем перестановочные соотношения для матриц

и искомые соотношения имеют вид

Непосредственно может быть проверена формула

Рассмотрим матрицу того чтобы получить явное выражение для этой матрицы, вычислим целые степени матрицы

Раскладывая в ряд получим

или

Мы видим, что является вращением вокруг третьей оси на угол а, т. е. Аналогично проверяется, что Для вращений вокруг оси координат мы будем использовать сокращенное обозначение .

Инфинитезимальными образующими группы вращений называются матрицы . Используя формулы для вращений вокруг осей координат, получим

Аналогично

Мы видим, что кососимметричные матрицы являются инфинитезимальными образующими группы вращений.

Теперь мы легко можем получить формулу для произвольного вращения Очевидно, что произведение вращений вокруг одной оси на углы есть вращение на угол вокруг той же оси:

Дифференцируя это тождество по р и полагая , получим

Мы нашли дифференциальное уравнение для , которое нужно решить при начальном условии . Единственное решение этой задачи имеет вид