§ 12. «Собственные функции» операторов Q и Р

Рассмотрим теперь уравнения для собственных векторов операторов Q и Р. Для простоты записи рассмотрим частицу с одной степенью свободы. В координатном представлении эти уравнения имеют вид

Решая эти уравнения, получим

(Первая формула сразу следует из свойства -функции вторая очевидна. Выбор нормировочных констант будет ясен из дальнейшего.)

Хотя «собственная функция» оператора координаты есть обобщенная функция, а — обычная функция, их объединяет то, что они обе не являются квадратично интегрируемыми, т. е. не принадлежат пространству Собственных функций в обычном смысле слова у операторов Q и Р нет.

Чтобы понять, как функции связаны со спектром операторов Q и Р, вспомним, какой смысл имеют собственные векторы в . Задача о нахождении собственных чисел и собственных векоторов матрицы А связана с задачей о диагонализации этой матрицы подобным преобразованием или, иначе говоря, с преобразованием оператора из некоторого исходного

представления в собственное. Для самосопряженного оператора A в всегда существует базис, составленный из собственных векторов

Собственные векторы мы ищем в исходном представлении, в котором

Компоненты вектора в собственном представлении оператора A вычисляются по формуле

Мы видим, что матрица, составленная из чисел, сопряженных компонентам собственных векторов осуществляет спектральное преобразование

Матрица U является унитарной, так как

Если мы формально в (5) заменим на и на то получим

или

Эта формула нам уже знакома. Мы видим, что функция является ядром унитарного оператора, переводящего координатное представление в импульсное (собственное для оператора Р). Так же может быть истолкована и «собственная функция» оператора координаты Q. Координатное представление является собственным для оператора Q, поэтому оператор, осуществляющий спектральное преобразование, должен быть единичным, а является ядром единичного оператора.

На этих примерах мы видим, что «собственные функции» непрерывного спектра, хотя и не являются собственными элементами в обычном смысле слова, но их связь со спектральным преобразованием остается такой же, как и для собственных векторов в конечномерном пространстве.

Заметим, что существует конструкция, позволяющая придать решениям уравнения

точный смысл собственных векторов даже для случая, когда не принадлежат . Для этого вводится более широкое пространство , элементами которого являются линейные функционалы, определенные на некотором пространстве Пару пространств и удается построить так, чтобы каждый самосопряженный оператор в имел в полную систему собственных векторов. Собственные элементы оператора А, принадлежащие Ф и не принадлежащие , называются обобщенными собственными элементами. Если оператор А имеет простой спектр, то для любого имеет место разложение по собственным элементам

Преобразование Фурье может быть истолковано как разложение по собственным функциям оператора импульса

Нормировочная константа в выражении для собственной функции импульса соответствует условию нормировки

Эта формула — следствие известного интегрального представления для -функции:

В двух последних формулах интегралы понимаются в смысле главного значения. Формула (9) есть аналог равенства

для собственных векторов дискретного спектра.

Построим теперь спектральную функцию оператора импульса. Только в этом месте мы используем для спектральной функции букву П, чтобы не путать ее с оператором импульса.

В импульсном представлении оператор есть оператор умножения на функцию

Перейдем к координатному представлению. Используя формулу. (11.9) для одномерного случая, получим

Производная от спектральной функции по параметру называется спектральной плотностью. Ядро этого оператора имеет вид

Мы видим, что это аналог проектора на одномерное собственное подпространство.