§ 3. Теорема Лиувилля и две картины движения в классической механике

Этот раздел мы начнем с доказательства важной теоремы Лиувилля. Пусть Q — некоторая область фазового пространства . Обозначим через образ этой области под действием фазового потока, т. е. множество точек . Пусть — объем области . Теорема Лиувилля утверждает, что

Доказательство:

Здесь через обозначен определитель Якоби преобразования Для доказательства теоремы достаточно показать, что

при всех t. При равенство (1) очевидно. Покажем теперь, что

При t = 0 формула (2) проверяется непосредственно

При , дифференцируя тождество

по s и полагая s = 0, получим

Таким образом, равенство (2) справедливо при всех t. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь эволюцию механической системы. Нас интересует зависимость от времени средних значений наблюдаемых . Возможны два способа описания этой зависимости или две картины движения. Мы начнем с формулировки так называемой картины Гамильтона. В этой картине зависимость от времени наблюдаемых определяется уравнением (1.15), а состояния от времени не зависят

Среднее значение наблюдаемой f в состоянии зависит от времени по формуле

или подробнее

Напомним, что и - решения уравнений Гамильтона с начальными условиями .

Для чистого состояния и из формулы (4) следует, что

Это обычная формула классической механики для зависимости от времени наблюдаемой в чистом состоянии Из формулы (4) ясно, что состояние в картине Гамильтона определяет вероятностное распределение начальных значений q и р.

Альтернативный способ описания движения получится, если в (3) сделать замену переменных . Тогда

Здесь использовано равенство (1) и введено обозначение . Нетрудно понять, что удовлетворяет уравнению

которое отличается от (1.15) знаком перед скобкой Пуассона. Вывод уравнения (5) буквально повторяет вывод уравнения (1.15), а разница в знаке возникает за счет того, что удовлетворяет уравнениям Гамильтона с обращенным временем. Картина движения, в которой зависимость от времени состояний определяется уравнением (5), а наблюдаемые от времени не зависят, называется картиной Лиувилля:

Уравнение (5) называется уравнением Лиувилля. Из самого способа введения картины Лиувилля очевидно, что

Эта формула выражает эквивалентность двух картин движения. Средние значения наблюдаемых зависят от времени одинаково, а разница между картинами только в способе описания этой зависимости. Заметим, что в статистической физике обычно используется картина Лиувилля.