§ 21. Трехмерные задачи квантовой механики. Трехмерная свободная частица

Оператор Шредингера для свободной частицы в координатном представлении имеет вид

Уравнение для собственных функций (при )

имеет решения

Нормировочная константа выбрана из условия

Мы видим, что спектр оператора Н является положительным, непрерывным, бесконечнократным. Каждому направлению вектора к соответствует собственная функция (3) с собственным значением . Поэтому собственных функций столько, сколько точек на единичной сфере.

Решение задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера

как и в одномерном случае, легче всего получить в импульсном представлении:

Очевидно, что

Переходя к координатному представлению, получим

Так же, как и в одномерном случае, функции или описывают инфинитное движение частицы с независящей от времени функцией распределения импульса. Используя метод стационарной фазы, можно показать, что область, в которой велика вероятность обнаружить частицу, перемещается с классической скоростью (мы считаем, что носитель функции сосредоточен в окрестности точки ). Справедлива оценка

где С — некоторая постоянная. Наконец, как и в одномерном случае,

для любого .