§ 30. Представления группы вращений в пространстве. Сферические функции

В § 25 мы построили представление группы вращений в пространстве состояний операторами

где — операторы момента импульса. Напомним, что эти операторы действуют только на угловые переменные функции поэтому пространство удобно рассматривать как . Здесь пространство квадратично интегрируемых функций с весом на — пространство функций квадратично интегрируемых на единичной сфере. Скалярные произведения в этих пространствах вводятся формулами

где — элемент поверхности единичной сферы.

Несколько громоздкие вычисления приводят к следующему виду операторов момента импульса в сферических координатах:

Операторы в этих переменных имеют вид

Общие собственные функции операторов будем обозначать через (число для операторов L принято обозначать через ). Уравнения в сферических координатах имеют вид

Из первого уравнения (1) видим, что

причем I может принимать только целые значения, . Второе уравнение (1) йозволяет получить уравнение для

Решая это уравнение, получим

Заметим, что для каждого существует одно решение уравнения (2). Итак, мы нашли, что

причем постоянная С может быть найдена из условия нормировки. Остальные функции могут быть вычислены по формуле

Мы не будем проделывать соответствующих вычислений. Функции называют нормированными сферическими функциями порядка. Для них может быть получено выражение

где функции

носят название нормированных присоединенных полиномов Лежандра.

Итак, базис неприводимого представления в пространстве состоит из сферических функций при фиксированном и . Пространство содержит подпространства неприводимых представлений всех нечетных размерностей ( — целое) по одному разу. Теорема о разложении представления группы вращений на неприводимые в данном случае эквивалентна утверждению о полноте сферических функций в . Любая функция может быть разложена в сходящийся ряд

Вспомним, что в пространстве действовали неприводимые представления как четных, так и нечетных размерностей. Пространство можно представить в виде прямой суммы , где — ортогональные подпространства четных и нечетных функций соответственно. В и в действуют представления только нечетных размерностей. Любой элемент может быть представлен в виде

Ясно, что взаимно-однозначное соответствие

устаиабливает изоморфизм между пространствами при котором

В заключение этого параграфа рассмотрим представление группы вращений в пространстве состояний . Пусть — произвольный базис в . Тогда — базис в пространстве и любая функция может быть разложена в ряд

Из этой формулы видно, что также может быть разложено (причем многими способами) на подпространства, в которых действуют неприводимые представления группы вращений порядка и каждое представление встречается бесконечное число раз. Любое из инвариантных подпространств, в которых действует неприводимое представление есть

жество функций вида , где .