§ 45. Представление пространства состояний по полному набору наблюдаемых
Пусть дан полный набор операторов 
с чисто точечным спектром. Эти операторы имеют общий полный набор собственных векторов 
и каждому набору собственных чисел соответствует один вектор 
Произвольный вектор 
может быть представлен в виде ряда
Эта формула определяет взаимно-однозначное соответствие между векторами 
и функциями 
определенными на спектре операторов 
,
Очевидно, что
т. е. построенное представление является собственным для всех операторов 
(действие этих операторов сводится к умножению на переменную).
Функция 
называется волновой функцией. Чтобы выяснить ее физический смысл, построим, как в предыдущем параграфе, оператор R такой, что 
,
где 
— различные вещественные числа и 
.
Мы знаем, что 
есть вероятность в результате измерения получить численное значение наблюдаемой R, равное 
Поэтому 
является вероятностью получить в результате одновременного измерения наблюдаемых 
значения 
.
Все эти результаты обобщаются на случай полного набора операторов 
с произвольным спектром, Сформулируем без доказательства теорему,
. Тогда существует такое представление пространства состояний, что вектор 
представляется функцией 
определенной на некотором множестве 
. На множестве 
задана мера 
и скалярное произведение определяется формулой
в этом представлении являются операто» рами умножения на переменную
есть плотность общей функции распределения для наблюдаемых 
относительно меры 
.
. Этому набору соответствует координатное представление. Аналогично строится импульсное представление по полному набору 
. Полный набор образуют также операторы 
, где Н — оператор Шредингера для частицы в центральном поле. Представление, соответствующее этому полному набору, описано в § 31. Для одномерной частицы оператор Шредингера Н для гармонического осциллятора сам по себе представляет полный набор. Соответствующее представление было построено в § 18.
