§ 45. Представление пространства состояний по полному набору наблюдаемых

Пусть дан полный набор операторов с чисто точечным спектром. Эти операторы имеют общий полный набор собственных векторов и каждому набору собственных чисел соответствует один вектор Произвольный вектор может быть представлен в виде ряда

Эта формула определяет взаимно-однозначное соответствие между векторами и функциями определенными на спектре операторов ,

Очевидно, что

т. е. построенное представление является собственным для всех операторов (действие этих операторов сводится к умножению на переменную).

Функция называется волновой функцией. Чтобы выяснить ее физический смысл, построим, как в предыдущем параграфе, оператор R такой, что ,

где — различные вещественные числа и .

Мы знаем, что есть вероятность в результате измерения получить численное значение наблюдаемой R, равное Поэтому является вероятностью получить в результате одновременного измерения наблюдаемых значения .

Все эти результаты обобщаются на случай полного набора операторов с произвольным спектром, Сформулируем без доказательства теорему,

Теорема. Пусть дан полный набор коммутирующих операторов . Тогда существует такое представление пространства состояний, что вектор представляется функцией определенной на некотором множестве . На множестве задана мера и скалярное произведение определяется формулой

Операторы в этом представлении являются операто» рами умножения на переменную

Функция есть плотность общей функции распределения для наблюдаемых относительно меры

Выше мы уже имели примеры полных наборов коммутирующих операторов и соответствующих представлений пространства состояний .

Для бесструктурной частицы полный набор образуют операторы координат . Этому набору соответствует координатное представление. Аналогично строится импульсное представление по полному набору . Полный набор образуют также операторы , где Н — оператор Шредингера для частицы в центральном поле. Представление, соответствующее этому полному набору, описано в § 31. Для одномерной частицы оператор Шредингера Н для гармонического осциллятора сам по себе представляет полный набор. Соответствующее представление было построено в § 18.