§ 13. Энергия, момент импульса и другие примеры наблюдаемых

Перейдем теперь к изучению более сложных наблюдаемых. Наша задача сопоставить произвольной классической наблюдаемой ее квантовый аналог . Хотелось бы положить но не существует общего определения функции от некоммутирующих операторов. Например, уже не понятно, какой из операторов или следует сопоставить классической наблюдаемой . Однако для наиболее важных наблюдаемых указанных трудностей вообще не возникает, так как эти наблюдаемые являются суммами функций от коммутирующих между собой компонент . Приведем некоторые примеры.

Кинетическая энергия частицы в классической механике

Соответствующий оператор кинетической энергии имеет вид

и в координатном представлении

где оператор Лапласа. В импульсном представлении оператор Т есть оператор умножения на функцию

Точно так же легко ввести оператор потенциальной энергии . В координатном представлении V является оператором умножения на функцию

а в импульсном — интегральным оператором с ядром

Оператор полной энергии (оператор Шредингера) определяется равенством

Запишем подробно уравнение Шредингера

В координатном представлении уравнение Шредингера для частицы является дифференциальным уравнением в частных производных

а в импульсном — интегродифференциальным

Рассмотрим наряду с (4) уравнение для комплексно-сопряженной волновой функции

Умножая уравнение (4) на , уравнение (5) на и вычитая одно из другого, получим

или

где

Уравнение (6) является уравнением неразрывности и выражает закон сохранения вероятности. Вектор j называется вектором плотности потока вероятности. Из уравнения (6) видно, что вектор j имеет следующий смысл: есть вероятность того, что частица пересечет поверхность S за единицу времени.

Важную роль и в классической, и в квантовой механиках играет момент импульса. Эта наблюдаемая в классической механике является вектором, проекции которого в декартовой системе координат имеют вид

В квантовой механике проекциями момента импульса являются операторы

Здесь — циклическая перестановка значков 1, 2, 3. В правую часть (7) входят произведения только разноименных координаты и проекции импульса, т. е. произведения коммутирующих операторов. Интересно заметить, что операторы L имеют одинаковый вид в импульсном и координатном представлении

Свойства операторов будут подробно изучены ниже.

Квантовая механика описывает, конечно, и более сложные, чем материальная точка, системы. Так, для системы из N материальных точек пространством состояний в координатном представлении является пространство функций от N векторных переменных . Оператор Шредингера для такой системы (аналог функций Гамильтона (1.5)) имеет вид

Физический смысл слагаемых здесь тот же, что и в классической механике.

Рассмотрим еще два оператора для материальной точки, которые окажутся полезными при обсуждении взаимосвязи квантовой и классической механики

где — вещественные параметры. Оператор в координатном представлении является оператором умножения на функцию

Выясним теперь смысл, оператора . Для простоты рассмотрим одномерный случай

Обозначим . Дифференцируя по параметру и, имеем

или

Чтобы найти функцию нужно решить это уравнение с начальным условием

Единственное решение, очевидно, имеет вид

Мы видим, что оператор в координатном представлении есть оператор сдвига аргумента функции на величину . В трехмерном случае

Операторы являются унитарными вследствие самосопряженности операторов . Найдем перестановочные соотношения для операторов . В координатном представлении имеем

Из этих равенств сразу следует, что

Разумеется, соотношения (13) не зависят от представления. Отметим еще формулы

т. е. множества операторов образуют группы. Обозначим эти группы через U и V.

Теперь мы можем дать точную формулировку теоремы фон Неймана. Ограничимся для простоты системой с одной степенью свободы.

Теорема. Пусть U и V — однопараметрические группы унитарных операторов действующих в гильбертовом пространстве и удовлетворяющих условию:

Тогда можно представить в виде прямой суммы

где каждое переводится в себя всеми операторами и каждое можно отобразить унитарно на таким образом, что операторы переходят в операторы а операторы переходят в операторы .

Можно говорить о том, что в пространстве действует представление соотношений (14) унитарными операторами. Если это представление неприводимо, то сумма (15) содержит только одно слагаемое.

В заключение этого параграфа докажем неприводимость координатного представления для Р и

Пусть К — некоторый оператор, коммутирующий с Q и Р

Из второго равенства следует, что

Применяя операторы в обеих частях равенства к произвольной функции , получим

Замена в левой части позволяет переписать это равенство в виде

В силу произвольности

откуда видно, что ядро зависит только от разности , т. е.

Теперь используем перестановочность оператора К с оператором координаты

откуда следует, что

Решение этого уравнения имеет вид

а функция, стоящая в правой части, есть ядро оператора .

Итак, мы показали, что любой оператор, коммутирующий с Q и Р, кратен единичному.