§ 46. Спин

До сих пор мы считали, что электрон представляет собой материальную точку с массой и зарядом — , т. е. является бесструктурной частицей, пространство состояний которой может быть реализовано, например, как пространство квадратично интегрируемых функций На основе такого представления об электроне мы рассчитали энергетические уровни атома водорода и получили результаты, которые с большой степенью точности совпадают с экспериментальными. Тем не менее существуют эксперименты, которые показывают, что подобное описание электрона не является полным.

Мы уже упоминали об опытах Штерна и Герлаха. Эти опыты показали, что проекция на некоторое направление магнитного момента атома водорода в основном состоянии может принимать два значения. В § 34 мы построили квантовую наблюдаемую «проекция магнитного момента» заряженной

бесструктурной частицы и видели, что третья проекция магнитного момента пропорциональна проекции момента импульса . Из расчета атома водорода мы знаем, что численное значение для основного состояния есть нуль. Поэтому и магнитный момент атома в основном состоянии должен равняться нулю. Это противоречие может быть объяснено, если предположить, что сам электрон имеет магнитный и механический моменты, проекции которых на некоторое направление могут принимать два значения.

Собственный момент импульса электрона называют спином в отличие от момента, связанного с его движением в пространстве, который обычно называют орбитальным моментом.

Существование наблюдаемой, численные значения которой могут принимать два значения, приводит к необходимости считать, что электрон может находиться в двух различных внутренних состояниях, независимо от состояния его движения в пространстве. Это в свою очередь приводит к удвоению общего числа состояний электрона. Так, каждому состоянию электрона в атоме водорода (без учета спина) соответствует два состояния, различающихся проекцией спина на некоторое направление.

Если предположить, что не существует какого-либо дополнительного взаимодействия, связанного со спином, то кратность всех собственных значений энергии оказывается в два раза больше, чем для бесспиновой частицы. Если же такие взаимодействия существуют, то вырождения, связанные со спином, могут сниматься и произойдет расщепление энергетических уровней. Опыты показывают, что такое расщепление действительно имеет место.

В § 32 мы описали модель атомов щелочных металлов, основанную на предположении, что валентный электрон атома движется в центральном поле. Эта модель неплохо описывает расположение энергетических уровней атомов щелочных металлов, однако ни сама модель, ни какое-либо ее усовершенствование не могут объяснить наблюдаемое расщепление уровней при на два близких. Гипотеза о спине позволяет легко объяснить это расщепление. В атомной физике существует еще множество явлений, которые находят свое объяснение на основе этой гипотезы. Мы увидим позже, что только удвоение числа состояний электрона, связанное со спином, позволяет объяснить длину периодов в таблице Менделеева.

Хотелось бы подчеркнуть, что гипотеза о спине электрона является гипотезой о природе конкретной элементарной частицы и не затрагивает общих принципов квантовой механики. Аппарат квантовой механики оказывается приспособленным для описания частицы со спином.

Мы начнем с построения пространства состояний для электрона. Без учета спина пространством состояний в координатном

представлении является пространство . Введение спина требует расширения пространства состояний, так как число состояний частицы со спином больше, чем у бесспиновой частицы.

Удвоения числа состояний без изменения физического содержания теории легко добиться, заменив пространство состояний на и сопоставив каждой наблюдаемой в наблюдаемую .

Поясним это подробнее. Элементами пространства состояний частицы со спином являются пары функций

Скалярное произведение в пространстве задается формулой

Будем использовать для наблюдаемых в те же обозначения и названия, что и для наблюдаемых в Так возникают операторы координат операторы проекций импульса и т. д., действующие в Например,

Каждому чистому состоянию в теперь соответствует два ортогональных состояния в

или любая их линейная комбинация. Ясно, что среднее значение любой наблюдаемой А в состоянии будет равняться среднему значению наблюдаемой А в состояниях Таким образом, введя пространство и ограничиваясь рассмотрением наблюдаемых вида , мы действительно добились удвоения числа состояний, сохранив все физические следствия теории.

В пространстве однако, наряду с наблюдаемыми существуют и другие наблюдаемые, например, вида где S — самосопряженный оператор в Разумеется, в существуют наблюдаемые, не представимые в виде или например, суммы или произведения таких наблюдаемых.

Рассмотрим наблюдаемые типа Прежде всего очевидно, что любая такая наблюдаемая коммутирует с любой наблюдаемой и не является функцией от наблюдаемых такого типа. Поэтому в пространстве наблюдаемые

не образуют полного набора коммутирующих наблюдаемых и мы должны будем дополнить этот набор до полного.

Любой самосопряженный оператор S в пространстве представим самосопряженной матрицей второго порядка и может быть выражен в виде линейной комбинации четырех независимых матриц. В качестве таких матриц удобно выбрать единичную матрицу и матрицы Паули :

Свойства матриц Паули обсуждались в § 27. Матрицы имеют перестановочные соотношения, такие же, как и для орбитального момента импульса

Мы видели, что перестановочные соотношения являются одним из наиболее важных свойств операторов момента импульса. Поэтому разумно отождествить операторы с операторами проекций спина . В дальнейшем эти операторы будем обозначать обычно через S). Операторы имеют собственные значения ±1/2, которые и являются допустимыми значениями проекций спина на некоторое направление Векторы являются собственными векторами оператора с собственными значениями . Поэтому эти векторы описывают состояния с определенным значением третьей проекции спина.

Для дальнейшего нам удобно изменить обозначения и вектор записывать в виде функции , где принимает два значения . Такая запись эквивалентна (1), если положить

Из равенства

следует, что

т. е. оператор , так же, как и операторы является оператором умножения на переменную. Мы видим, что построенное представление пространства состояний частицы со спином является собственным для операторов , а эти операторы образуют полный набор коммутирующих операторов в

Теперь легко понять физический смысл функций . В соответствии с общим толкованием есть плотность функции распределения координат при условии, что третья проекция спина имеет значение есть роятность в результате измерения спина получить значение, равное

Наряду с наблюдаемыми можно ввести оператор квадрата спина Подставляя в это выражение и учитывая, что получим Мы видим, что любой вектор является «собственным» для оператора с собственным значением 3/4. Это собственное значение можно записать в виде , где . Поэтому говорят, что спин электрона равен 1/2.

Построим представление группы вращений в пространстве . Напомним, что в пространстве действует представление вращений g операторами , а в пространстве — операторами Отображение где является представлением в пространстве Представление есть произведение представлений W и .

Операторы в называются сферически-симметричными, если они коммутируют со всеми операторами . Если оператор Шредингера Н является сферически-симметричным, то операторы и инфинитезимальные операторы

являются интегралами движения. Поэтому для системы со сферически-симметричным оператором Шредингера справедлив закон сохранения полного момента импульса, проекции которого .

Заметим, что в общем случае сферически-симметричного оператора Н нет законов сохранения орбитального и спинового моментов по отдельности. Однако, если сферически-симметричный оператор Шредингера в коммутирует и со всеми операторами то он коммутирует со всеми операторами и имеют место законы сохранения для наблюдаемых по отдельности. Примером такого оператора Шредингера является оператор , где Н — оператор Шредингера для частицы в центральном поле.