§ 31. Радиальное уравнение Шредингера

Вернемся к изучению задачи о движении частицы в центральном поле. Будем искать решения уравнения или, используя формулу (23.5).

Мы видели, что собственные подпространства оператора Шредингера Н в случае отсутствия случайных вырождений должны совпадать с подпространствами неприводимых представлений , а при наличии случайных вырождений являться прямой суммой таких подпространств. Ясно, что все независимые собственные функции оператора Н можно построить, если мы будем искать их в виде

Эти функции уже являются собственными функциями операторов

a потому описывают состояния частицы с определенными значениями квадрата момента импульса и его третьей проекции. Подстановка (2) в (1) дает нам уравнение для

Введем новую неизвестную функцию

и уравнение для примет вид

Это уравнение носит название радиального уравнения Шредингера. Обратим внимание на некоторые особенности уравнения (3). Прежде всего параметр не входит в уравнение, физически это означает, что энергия частицы не зависит от проекции момента на ось . Для каждого I получается свое радиальное уравнение. Спектр радиального уравнения всегда простой (это можно доказать), поэтому случайные вырождения возможны, если уравнения (3) с разными I имеют одинаковые собственные значения.

Рис. 7.

Радиальное уравнение по виду совпадает с уравнением Шредингера для одномерной частицы

если ввести так называемый эффективный потенциал

Есть, однако, одно существенное отличие. Функция определена на на , поэтому радиальное уравнение эквивалентно одномерному уравнению Шредингера для задачи с потенциалом при условии, что при .

На рис. 7 изображены графики функций . В качестве взят кулоновский потенциал притяжения .

Выражение может быть истолковано как потенциал отталкивания, возникающий за счет центробежной силы. Поэтому это выражение обычно называют центробежным потенциалом.

В квантовой механике приходится решать задачи с самыми различными потенциалами . Наиболее важными из них, по-видимому, являются кулоновский потенциал описывающий взаимодействие заряженных частиц, и потенциал Юкавы , который часто используется в ядерной физике.

Обычно рассматриваются потенциалы, которые при менее сингулярны, чем . В зависимости от поведения при убывающие потенциалы делятся на короткодействующие и дальнодействующие, которые этому условию не удовлетворяют. Потенциал Юкавы является короткодействующим потенциалом, а кулоновский потенциал — дальнодействующим. Спектр радиального оператора Шредингера

хорошо изучен для весьма широкого класса потенциалов. В случае растущего потенциала при спектр чисто точечный простой. В случае убывающего потенциала интервал заполнен непрерывным спектром, отрицательный спектр дискретный. Для короткодействующего потенциала положительный спектр простой, непрерывный, а отрицательный состоит из конечного числа собственных значений.

Приведем простые соображения, позволяющие понять основные особенности спектра . Для этого посмотрим, как ведут себя решения радиального уравнения при Если при пренебречь членом в радиальном уравнении, то оно сведется к

При это уравнение имеет два линейно-независимых решения . При линейно-независимые решения имеют вид .

В случае можно надеяться, что мы получим правильное поведение решений радиального уравнения, если в этом уравнении из членов линейных по оставим наиболее сингулярный , тогда

Это уравнение имеет два линейно-независимых решения .

Теперь посмотрим, какие условия разумно наложить на решения радиального уравнения. Нас интересуют решения уравнения

Шредингера . Функции должны быть непрерывными в и либо квадратично интегрируемыми, либо ограниченными во всем пространстве. В первом случае они являются собственными функциями в обычном смысле слова, а во втором — с их помощью может быть описан непрерывный спектр.

Из непрерывности следует условие Поэтому интерес представляет только такое решение радиального уравнения, которое при ведет себя, как . Это условие определяет с точностью до численного множителя. Далее при мы должны найти решение которое при ведет себя, как (в противном случае решение будет неограниченным). При произвольном отрицательном Е эти условия оказываются несовместными. Те значения Е, для которых удается построить решение, имеющее правильное поведение в нуле и на бесконечности, и есть собственные значения.

При любом решение является ограниченным, поэтому достаточно, чтобы оно имело правильное поведение в нуле. Спектр при — непрерывный.

Собственные функции дискретного спектра описывают частицу, локализованную в окрестности силового центра, т. е. соответствуют финитному движению. При помощи собственных функций непрерывного спектра могут быть описаны состояния, в которых движение частицы является инфинитным.

Собственные функции дискретного спектра радиального уравнения мы будем обозначать через , где индексом k нумеруются собственные значения уравнения при данном I,

Собственные функции непрерывного спектра, соответствующие энергии Е, будем обозначать через

Для широкого класса потенциалов доказана полнота си стемы функций для каждого . Это значит, что для произвольной функции справедливо представление:

где

Вернемся к трехмерной задаче. Функции дискретного спектра имеют вид

и кратность собственного значения равна (при отсутствии случайных вырождений). Для собственных функций непрерывного спектра имеем

Кратность непрерывного спектра бесконечная, так как для произвольного есть решения радиальных уравнений при всех I и, кроме того, .

Параметры , которые определяют собственные функции точечного спектра, называются радиальным, орбитальным и магнитным квантовыми числами соответственно. Эти названия появились в старой квантовой теории Бора — Зоммерфельда, в которой каждому допустимому значению энергии соответствовала определенная классическая орбита (или несколько таких орбит). Числа k и I определяли размеры и форму орбиты, а число — ориентацию плоскости орбиты в пространстве. Число играет существенную роль в магнитных явлениях, этим объясняется его название.

Из полноты системы функций следует полнота системы . Для краткости записи рассмотрим случай, когда точечный спектр у оператора отсутствует. В этом случае произвольная функция может быть представлена в виде

Ясно, что определяется последовательностью функций поэтому мы получаем представление

в пространстве последовательностей функций. Скалярное произведение в этом пространстве задается формулой

Из того факта, что есть собственная функция операторов легко понять, что в построенном представлении

операторы действуют следующим образом:

Поэтому построенное представление является собственным для трех коммутирующих операторов (Уравнения (5) не следует путать с уравнениями для собственных векторов.)