§ 39. Рассеяние на потенциальном центре

Для задачи о рассеянии на потенциальном центре оператор Шредингера имеет вид

(Мы снова считаем, что ). В дальнейшем мы обычно будем считать, что потенциал - финитная функция

( при ). Изложение построим по той же схеме, что и в одномерном случае, т. е. сначала рассмотрим некоторые решения стационарного уравнения Шредингера, а затем выясним их физический смысл с помошью нестационарного уравнения Шредингера.

Наша первая задача — сформулировать асимптотическое (при ) условие на решение уравнения

которое соответствует физической картине рассеяния и является аналогом условий (36.4) для одномерной задачи. Естественно ожидать, что одно слагаемое асимптотически будет соответствовать частице, налетающей на рассеивающий центр по определенному направлению, а второе — соответствовать рассеянной частице, которая может иметь различные направления движения после рассеяния и удаляется от центра. Аналогами функций и в трехмерном случае являются функции Поэтому разумно предположить, что частице до и после рассеяния в асимптотике соответствуют слагаемые Мы используем следующие обозначения: k — импульс налетающей частицы, - функция на единичной сфере, определяемая равенством

— некоторая функция, которая, как будет показано, содержит всю информацию о процессе рассеяния и которая должна быть найдена при решении задачи. Мы увидим в дальнейшем, что функция является ядром некоторого унитарного оператора S, который называется оператором рассеяния.

Мы приходим к следующей постановке задачи о рассеянии на силовом центре: требуется найти решение уравнения

которое при имеет асимптотику

Обоснование такой постановки задачи может быть дано только при помощи нестационарного формализма теории рассеяния, это будет сделано в следующем параграфе. Вопрос о существовании решения уравнения (2) с условием (3) мы также обсудим ниже. На этот вопрос, однако, просто ответить для

случая . Покажем, что функция

которая, очевидно, является решением (2) при удовлетворяет и условию (3), и найдем вид функции для этого случая.

Мы ищем асимптотику функции в классе обобщенных функций, поэтому должны найти асимптотическое выраже ние при интеграла

где — гладкая функция. Используя явный вид и вводя сферическую систему координат, полярная ось которой направлена по вектору имеем

Интегрируя по частям, получим

Еще раз проинтегрировав по частям, легко убедиться, что второе слагаемое имеет порядок поэтому

Таким образом, мы показали, что

Сравнивая (4) с (3), найдем функцию Ы для свободной частицы

Используя (4), можно переписать асимптотическое условие (3) в форме

где функция связана с функцией соотношением

Функция называется амплитудой рассеяния. Очевидно, что при . Мы увидим, что через эту функцию наиболее просто выражается сечение рассеяния.

Вместо асимптотического условия (5) часто используют

которое приводит к более удобной нормировке функции .

Посмотрим теперь, какими свойствами обладает функция . Для изучения этих свойств удобным оказывается следующее вспомогательное утверждение.

Пусть функции удовлетворяют уравнению (2) и асимптотическим условиям при которые можно один раз дифференцировать по

Тогда справедливо равенство

Это утверждение легко доказывается при помощи формулы Грина

В качестве области интегрирования следует выбрать шар радиуса R и перейти к предеду при . Положим

где . Применяя формулу (8) к функциям и получим

или, заменяя на

Эта формула является аналогом равенства для одномерной задачи рассеяния и выражает тот факт, что значения функции S для прямого и обращенного во времени процессов столкновений совпадают. Можно показать, что это свойство (так же, как и симметрия -матрицы в одномерном случае) является следствием инвариантности уравнения Шредингера относительно обращения времени. Далее, применяя формулу (8) к функциям и получим

Если рассматривать функцию как ядро интегрального оператора в

то формула (11) может быть переписана в виде

Учитывая (10), из (11) следует, что справедливо равенство

Из последних двух соотношений следует, что оператор S является унитарным.

Мы видим, что оператор S для задачи рассеяния на потенциальном центре обладает теми же свойствами, что и -матрица для одномерной задачи рассеяния. Из унитарности оператора S вытекает важное соотношение

которое носит название оптической теоремы. Действительно, используя (6) и (11), получим

Полагая мы сразу приходим к формуле (12).

В § 42 мы увидим, что интеграл в левой части (12) совпадает с полным сечением а для рассеяния частицы на потенциальном центре. Поэтому (12) можно переписать в виде

Эта формула связывает полное сечение рассеяния с мнимой частью амплитуды рассеяния на нулевой угол.

Используя унитарность оператора S, легко показать, что функции , удовлетворяющие асимптотическому условию (7), имеют нормировку

т. е. нормированы так же, как решения для свободной частицы Чтобы проверить (13), умножим равенства

на соответственно, вычтем первое из второго и проинтегрируем по шару радиуса R, тогда

С помощью формулы Грина это равенство можно переписать в виде

где — сфера радиуса R. Формула (13) получается из последнего соотношения переходом к пределу при интеграл в правой части считается с помощью асимптотического выражения для Мы не приводим соответствующих выкладок, так как они буквально повторяют вычисления, которые привели нас к формулам (36.9), (36.10).