§ 25. Представления группы вращений

Представлением группы вращений G в гильбертовом пространстве называется отображение W, которое каждому элементу g группы G ставит в соответствие ограниченный линейный

и непрерывно зависящий от g оператор в пространстве так, что выполняются условия

В условии 1) слева означает единичное вращение, а справа — единичный оператор в 8. Из условий 1) и 2) сразу следует, что

Представление называется унитарным, если унитарны операторы .

В теории групп доказывается, что любое представление группы вращений эквивалентно некоторому унитарному представлению, поэтому можно ограничиться изучением унитарных представлений.

Напомним два эквивалентных определения неприводимого представления:

1) представление называется неприводимым, если не существует оператора, отличного от , который коммутировал бы со всеми операторами ;

2) представление называется неприводимым, если в пространстве не существует подпространства инвариантного относительно действия операторов

Легко построить представление группы вращений в пространстве состояний частицы . Для этого определим операторы формулой

Условие 1) определения представления очевидно, условие 2) проверяется следующим образом:

Операторы отображают на взаимно однозначно, поэтому для проверки унитарности достаточно убедиться, что они сохраняют норму вектора

где использовано равенство . Покажем, что справедлива формула

Здесь мы обозначили через — проекции момента импульса. Для доказательства формулы (2) рассмотрим сначала вращение вокруг третьей оси и покажем, что

или, что эквивалентно,

при произвольной . Мы проверим справедливость последнего равенства, если убедимся, что функции в левой и правой частях его удовлетворяют одному и тому же уравнению с одинаковыми начальными условиями. Функция

чевидно, удовлетворяет уравнению

или подробнее

Функция, стоящая в левой части (3), которую мы обозначим через , имеет вид

Проверим, что эта функция удовлетворяет уравнению (4):

откуда следует справедливость (4) для функции . Наконец, обе функции удовлетворяют одинаковому начальному условию

Таким образом, операторы вращений вокруг осей координат имеют вид

Инфинитезимальные операторы представления сразу находятся из формулы (5)

Далее, буквально повторя рассуждения, которые привели нас к формуле (24.2), мы получим (2). Обратим внимание на то, что операторы имеют те же перестановочные соотношения, что и матрицы . Действительно, из

следует, что

В теории групп доказывается, что перестановочные соотношения между инфинитезимальными операторами представления не зависят от выбора представления. Более того, если какие-либо операторы в некотором пространстве удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и инфинитезимальные образующие группы, то они являются инфинитезимальными операторами некоторого представления, действующего в .

Применительно к группе вращений это означает, что если мы найдем операторы , удовлетворяющие соотношениям: то можем построить представление по формуле