Главная > Лекции по квантовой механике для тудентов-математиков
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 25. Представления группы вращений

Представлением группы вращений G в гильбертовом пространстве называется отображение W, которое каждому элементу g группы G ставит в соответствие ограниченный линейный

и непрерывно зависящий от g оператор в пространстве так, что выполняются условия

В условии 1) слева означает единичное вращение, а справа — единичный оператор в 8. Из условий 1) и 2) сразу следует, что

Представление называется унитарным, если унитарны операторы .

В теории групп доказывается, что любое представление группы вращений эквивалентно некоторому унитарному представлению, поэтому можно ограничиться изучением унитарных представлений.

Напомним два эквивалентных определения неприводимого представления:

1) представление называется неприводимым, если не существует оператора, отличного от , который коммутировал бы со всеми операторами ;

2) представление называется неприводимым, если в пространстве не существует подпространства инвариантного относительно действия операторов

Легко построить представление группы вращений в пространстве состояний частицы . Для этого определим операторы формулой

Условие 1) определения представления очевидно, условие 2) проверяется следующим образом:

Операторы отображают на взаимно однозначно, поэтому для проверки унитарности достаточно убедиться, что они сохраняют норму вектора

где использовано равенство . Покажем, что справедлива формула

Здесь мы обозначили через — проекции момента импульса. Для доказательства формулы (2) рассмотрим сначала вращение вокруг третьей оси и покажем, что

или, что эквивалентно,

при произвольной . Мы проверим справедливость последнего равенства, если убедимся, что функции в левой и правой частях его удовлетворяют одному и тому же уравнению с одинаковыми начальными условиями. Функция

чевидно, удовлетворяет уравнению

или подробнее

Функция, стоящая в левой части (3), которую мы обозначим через , имеет вид

Проверим, что эта функция удовлетворяет уравнению (4):

откуда следует справедливость (4) для функции . Наконец, обе функции удовлетворяют одинаковому начальному условию

Таким образом, операторы вращений вокруг осей координат имеют вид

Инфинитезимальные операторы представления сразу находятся из формулы (5)

Далее, буквально повторя рассуждения, которые привели нас к формуле (24.2), мы получим (2). Обратим внимание на то, что операторы имеют те же перестановочные соотношения, что и матрицы . Действительно, из

следует, что

В теории групп доказывается, что перестановочные соотношения между инфинитезимальными операторами представления не зависят от выбора представления. Более того, если какие-либо операторы в некотором пространстве удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и инфинитезимальные образующие группы, то они являются инфинитезимальными операторами некоторого представления, действующего в .

Применительно к группе вращений это означает, что если мы найдем операторы , удовлетворяющие соотношениям: то можем построить представление по формуле

1
Оглавление
email@scask.ru