§ 18. Представление состояний одномерной частицы в пространстве последовательностей

Согласно результатам § 16 любой вектор может быть разложен в ряд по собственным векторам оператора энергии гармонического осциллятора

Каждый вектор однозначно определяется последовательностью коэффициентов т. е.

Пусть , тогда в силу ортонормированности системы векторов

Посмотрим, как действуют операторы в таком представлении. Для этого достаточно построить операторы а и а*. Пусть нужно выразить через . Это можно сделать следующим образом:

При вычислении использовались соотношения последнее равенство получается при замене значка суммирования Из (1) видно, что

Аналогично

Поэтому, если , то

Формулы (2) и (3) становятся особенно наглядными, если использовать матричные обозначения. Будем записывать последовательность в виде столбца

Тогда операторы а я а могут быть записаны при помощи матриц

Проверим, что такая запись эквивалентна соотношениям (2) и (3). Действительно,

что совпадает с формулой (2); аналогично проверяется связь формул (3) и (4). Для операторов а и а в представлении (4) сразу же проверяется перестановочное соотношение Собственные векторы оператора в этом представлении имеют вид

Очевидно, что вектор удовлетворяет уравнению .

Операторы а и а часто называют операторами рождения и уничтожения возбуждения. Эти названия объясняются тем, что оператор а превращает состояние с энергией Е в состояние

с большей энергией , а оператор а — состояние с энергией Е в состояние с энергией (основное состояние оператор а аннулирует). Иногда вводят так называемый оператор числа возбуждений . В нашем представлении он имеет вид

Собственные значения этого оператора совпадают с порядковым номером возбужденного состояния .

Выпишем, наконец, операторы в рассматриваемом представлении

Из этих формул видно, что Н представляется диагональной матрицей, т. е. рассматриваемое представление является собственным для оператора Шредингера гармонического осциллятора. Далее, сразу видно, что Р и Q — самосопряженные операторы, и легко можно проверить выполнение перестановочного соотношения .

В связи с представлением состояний в пространстве хотелось бы несколько слов сказать о первоначальной матричной формулировке квантовой механики Гейзенберга. На начальном этапе развития квантовой механики основной была задача

о нахождении допустимых значений энергии системы. Рецепт, предложенный Гейзенбергом применительно к системе с одной степенью свободы, состоял в следующем. Рассматривалась классическая система с функцией Гамильтона . Строились самосопряженные матрицы Q и Р, удовлетворяющие соотношению (такие матрицы определены неоднозначно). Далее строилась матрица Последний этап состоял в диагонализации этой матрицы, причем собственные значения матрицы отождествлялись с допустимыми значениями энергии.

Формулы (6) и (7) дают пример матриц Р и Q, удовлетворяющих перестановочным соотношениям Гейзенберга. Эти матрицы подобраны так, что матрица оператора для осциллятора сразу является диагональной. Однако для произвольного Н нельзя обойтись без этапа диагонализации.

Мы видим, что формулировка Гейзенберга по существу совпадает с современной формулировкой квантовой механики, если в качестве пространства состояний взять пространство