§ 16. Гармонический осциллятор

В классической механике гармоническим осциллятором на зывается система с функцией Гамильтона

Параметр имеет смысл частоты колебаний.

Оператор Шредингера соответствующей квантовомеханической системы имеет вид

Мы используем систему единиц, в которой . Наша задача найти собственные векторы и собственные значения оператора Н. Мы решим эту задачу, используя только перестановочные соотношения Гейзенберга для операторов Р и Q и не переходя к конкретному представлению. Для этого введем операторы

Используя соотношение Гейзенберга

получим

или

Из (4) и (5) сразу находим перестановочное соотношение для операторов а и а*

Из (6) легко проверяется по индукции, что

Наконец, нам потребуются перестановочные соотношения операторов а и . Для вычисления коммутатора достаточно умножить формулу (4) на а справа, (5) на а слева и найти разность полученных выражений

Аналогично

Перейдем теперь к изучению спектра оператора . Предположим, что существует хотя бы одно собственное значение Е оператора . Соответствующий собственный вектор мы обозначим через Покажем, что собственные значения Е ограничены снизу. Вектор по условию удовлетворяет уравнению которое может быть с учетом (5) переписано в виде

Умножая это равенство слева на получим

откуда сразу следует, что причем знак равенства возможен только при условии Из выражения (5) для видно, что если некоторый вектор удовлетворяет условию то он является собственным вектором оператора , соответствующим собственному значению

Покажем, каким образом можно по произвольному собственному вектору построить новые собственные векторы. Подсчитаем выражение , используя (8):

Из последнего соотношения видно, что либо является собственным вектором, соответствующим собственному значению , либо . Если , то вектор либо собственный с собственным значением либо Таким образом, по произвольному собственному вектору может быть построена последовательность собственных векторов соответствующих собственным значениям . Эта последовательность, однако, не может быть бесконечной, так как собственные значения оператора Н ограничены снизу числом . Поэтому существует такое , что . Обозначим вектор через . Этот вектор удовлетворяет уравнениям

Мы видим, что предположение о существовании хотя бы одного собственного вектора эквивалентно предположению о существовании вектора удовлетворяющего (10). Вектор описывает основное состояние осциллятора, т. е. состояние с наименьшей энергией

Посмотрим, как действует оператор а на собственные векторы оператора Н. Используя (9), получим

Обратим внимание на то, что не может быть нулевым вектором. Действительно, из выражения (4) для оператора Н видно, что вектор, удовлетворяющий уравнению является собственным вектором Н с собственным значением что невозможно, так как . Поэтому из (11) следует, что является собственным вектором оператора Н с собственным значением Аналогично - собственный вектор с собственным значением . Начиная такое построение с вектора мы получим бесконечную последовательность собственных векторов соответствующих собственным значениям . Пусть вектор нормирован Вычислим норму вектора

При вычислении использовалось перестановочное соотношение (7) и равенство (10).

Таким образом, последовательность нормированных собственных векторов оператора Н можно задать формулой

Ортогональность векторов соответствующих различным собственным значениям, следует из общих соображений, но может быть проверена и непосредственно

Последнее равенство получается из формул (7) и (10).

Обсудим теперь вопрос о единственности вектора Натянем на ортонормированную систему векторов гильбертово пространство . Элементы имеют вид

В этом пространстве мы получим реализацию перестановочных соотношений Гейзенбера, если положить в соответствии с (2)

Соотношение (3) тогда является следствием формулы (6). Пространство инвариантно относительно действия операторов Р и Q (точнее, относительно ограниченных функций , например, ) и не содержит подпространств, обладающих тем же свойством. Поэтому представление операторов Q и Р формулами (14) в неприводимо.

Если в некотором представлении существует два вектора удовлетворяющих уравнению (10), то наряду с Ж может быть аналогично построено пространство Ж по вектору . Это пространство будет инвариантным относительно Р и Q, т. е. представление, в котором существует более одного решения уравнения (10), будет приводимым.