§ 29. Единственность представлений Dj

Докажем, что построенное неприводимые представления Dj единственны (с точностью до эквивалентности). При доказательстве мы увидим, в какой степени спектр операторов момента импульса определяется их перестановочными соотношениями и как произвольное представление группы вращений раскладывается на неприводимые.

Пусть в -мерном пространстве определено некоторое неприводимое представление, через обозначим

инфинитезимальные операторы этого представления. Они удовлетворяют перестановочным соотношениям

Эквивалентность этого представления некоторому представлению будет доказана, если мы покажем, что при подходящем выборе базиса в матрицы совпадают с матрицами Прежде всего заметим, что представление группы вращений одновременно является и представлением ее подгруппы, состоящей из вращений вокруг оси на угол а. Эта подгруппа абелева, поэтому все ее неприводимые представления одномерны и имеют вид (относительно чисел тк мы не будем делать никаких предположений, допуская возможность «многозначных» представлений). Это значит, что при подходящем выборе базиса в матрица вращения вокруг оси имеет вид

Таким образом, в существует базис из собственных векторов оператора

Далее, из неприводимости представления следует, что оператор коммутирующий со всеми , должен быть кратен единичному в пространстве Это возможно, если все базисные векторы являются собственными векторами оператора , соответствующими одному и тому же собственному значению, которое мы обозначим через (эта запись пока просто обозначение). Базисные векторы будем обозначать через

Введем операторы Легко проверить справедливость следующих формул:

Найдем границу возможных значений при заданном собственном значении . Для этого, умножая на равенство

получим

Левая часть неотрицательна, поэтому

Из соотношений (3) и (4) следует, что

Поэтому векторы (если они ненулевые) являются собственными векторами оператора с собственным значением и оператора с собственными значениями . Таким образом по произвольному базисному элементу может быть построена цепочка собственных векторов с одним и тем же собственным значением оператора и с собственными значениями оператора . Через мы обозначили наименьшее и наибольшее собственные значения соответственно. Существование следует из неравенства (6), цепочка собственных векторов должна обрываться в обе стороны.

Вычислим норму вектора что и что

Поэтому мы можем написать

Эта формула позволяет по произвольному орту строить новые орты удовлетворяющие всем требованиям. Знак минус перед корнем написан из соображений удобства.

Мы пока еще не выяснили, какие значения могут принимать числа и . Будем исходить из равенств

Умножая эти равенства на и на и используя (5), получим

или

Из (9) сразу получаем . Нам годится

одно решение этого уравнения , так как . Далее число целое или нуль. Поэтому может принимать значения Наконец, из (9) мы видим, что в качестве числа можно взять Мы получили, что собственные значения оператора имеют вид где , а собственные числа оператора при заданном пробегают значение: Числа и одновременно являются либо целыми, либо полуцелыми. Еще раз подчеркнем, что эти свойства спектра операторов и мы нашли, используя только перестановочные соотношения.

Для завершения доказательства нам осталось убедиться в что построенные собственные векторы образуют базис в Это следует из неприводимости представления. Действительно, подпространство натянутое на векторы будет инвариантным относительно операторов , а потому должно совпадать с и размерность представления . Формулы (1) и (7) показывают, что матрицы при таком выборе базиса совпадают с матрицами

Заметим, что мы заодно построили способ разложения произвольного представления на неприводимые. Пусть в некотором пространстве действует представление группы вращений и его инфинитезимальные операторы. Для того чтобы выделить инвариантные подпространства, мы должны найти общие решения уравнений

Векторы при заданном j и образуют базис неприводимого представления размерами . Задача о нахождении общих решений уравнений (10) проще всего решается следующим образом. Сначала находится вектор , удовлетворяющий уравнениям

а затем для построения векторов используется формула

которая позволяет по последовательно найти все векторы