§ 41. Интегральное уравнение теории рассеяния

Основу большинства подходов для построения решений и амплитуды рассеяния составляет интегральное уравнение

которое часто называют уравнением Липпмана — Швингера.

Проверим, что решение этого уравнения удовлетворяет уравнению (39.2) и асимптотическому условию (39.7). Действительно, используя формулы

получим

Асимптотическое условие проверим для случая финитного потенциала при . Имеем

Поэтому для функции получим

Сравнивая последнюю формулу с (39.7), мы видим, что решение интегрального уравнения имеет правильную асимптотику,

и, кроме того, получаем

Формула (2), в которой амплитуда рассеяния выражена через решение уравнения (1), часто оказывается полезной для приближенного нахождения .

Один из приближенных методов теории рассеяния основан на использовании ряда итераций уравнения (1)

где

Ряд (3) называется борновским рядом, подстановка (3) в (2) дает борновский ряд для амплитуды рассеяния. Борновский ряд для задачи рассеяния на потенциальном центре хорошо изучен. Известно, например, что он сходится при условии

Известно также, что при этом условии на потенциал оператор Н не имеет дискретного спектра. Если дискретный спектр присутствует, то ряд (3) сходится не при всех k. В то же время при достаточно больших k ряд (3) сходится для весьма широкого класса потенциалов.

Простейшее приближение для амплитуды рассеяния получится, если в (2) вместо подставить

Это приближение называется борновским приближением. Точное утверждение состоит в том, что при больших

равномерно по n и

Интегральное уравнение используется для математического изучения задачи о рассеянии. При подходящем выборе функционального пространства это уравнение может быть сведено к уравнению второго рода

с вполне непрерывным оператором. Поэтому для уравнения (1) справедливы теоремы Фредгольма. Для широкого класса потенциалов показано, что соответствующее однородное уравнение может иметь решения лишь при мнимых значениях параметра Буквально повторяя вычисления, приведенные в начале этого параграфа, легко убедиться, что решение однородного уравнения удовлетворяет уравнению Шредингера и имеет асимптотику где - некоторая функция, определенная на единичной сфере. Это значит, что решения однородного уравнения являются собственными функциями дискретного спектра оператора Н. С помощью интегрального уравнения (1) была доказана полнота набора собственных функций оператора Н.