§ 34. Вариационный принцип

Рассмотрим функционал

Этот функционал имеет простой физический смысл: Е есть среднее значение энергии системы в состоянии, задаваемом вектором . Если , где собственный зектор оператора , соответствующий собственному значению то Вычислим вариацию функционала (1)

Легко видеть, что условие стационарности функционала Е

эквивалентно уравнению Шредингера

Действительно, из (3) сразу следует (2). Чтобы проверить обратное утверждение, достаточно наряду с вариацией рассмотреть Тогда из условия (2) следует, что

и из произвольности следует (3).

Отметим еще одно важное свойство функционала Е. Для любого вектора где — наименьшее собственное значение, причем знак равенства имеет место только при Это утверждение почти очевидно, так как среднее значение энергии не меньше минимально возможного. Проверим его формально для оператора с простым чисто точечным спектром. Будем считать, что собственные значения занумерованы

в порядке возрастания: Подставляя получим

так как Знак равенства в (4) достигается, если при . В этом случае . Аналогично проверяется, что

Свойство делает вариационный принцип особенно эффективным для расчета основного состояния системы. Подставляя в (1) произвольный вектор мы получаем оценку сверху для из двух значений функционала (1) и более близким к является меньшее. Использование свойств (5) для оценки наталкивается на трудности, так как нам неизвестны собственные векторы

Существует вторая формулировка вариационного принципа, которая утверждает, что уравнение Шредингера (3) эквивалентно условию стационарности функционала при Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, последнее условие можно записать в виде

где — множитель Лагранжа. Эквивалентность (6) и (3) проверяется так же, как эквивалентность (2) и (3).

Вариационные принципы могут использоваться двумя способами для получения приближенных решений уравнения (3). Первый способ состоит в том, что приближенная волновая функция ищется в классе функций определенного аналитического вида, зависящих от нескольких параметров Тогда , и параметры находятся из условий

При втором способе приближенная собственная функция Я для сложной системы (например, для атома), зависящая от многих переменных строится при помощи неизвестных функций от меньшего числа переменных (чаще всего представляется в виде произведения ) или линейной комбинации таких произведений). Из вариационного принципа находятся уравнения для функций

С этим способом мы познакомимся, когда будем изучать сложные атомы.

Пример. Применим вариационный принцип для приближенного расчета основного состояния атома гелия. Оператор Шредингера для гелия в атомных единицах имеет вид

В качестве пробной функции возьмем

Вычисления, которые мы не приводим, дают простое выраже ние для функционала

Минимум этого выражения достигается при и приближенное теоретическое значение энергии основного состояния

Экспериментальное значение . Мы видим, что такой простой расчет приводит к весьма хорошему согласию с экспериментом. Как и следовало ожидать, теоретическое значение больше экспериментального.

Заметим, что является собственной функцией основного состояния частицы в кулоновском поле Поэтому приближенная собственная функция является точной собственной функцией для оператора

Взаимодействие между электронами в приближенном операторе Шредингера Н учтено заменой заряда ядра на тем самым учтена экранировка ядра зарядом электрона.

В заключение отметим, что при расчетах атома гелия использовались пробные функции с огромным числом параметров и была достигнута такая точность, что имеющиеся расхождения с экспериментом могут быть объяснены релятивистскими поправками. Столь точное решение задачи об основном состоянии атома гелия имеет принципиальное значение для квантовой механики и подтверждает справедливость ее уравнений для задачи трех тел.