§ 8. Физический смысл собственных значений и собственных векторов наблюдаемых

В этом параграфе мы рассмотрим вопросы, касающиеся физического толкования теории. Прежде всего мы должны научиться строить функции распределения для наблюдаемых в заданном состоянии. Мы знаем общую формулу

где — функция Хевисайда. Чтобы построить функцию от наблюдаемой , рассмотрим уравнение

Только для простоты рассуждений пока предположим, что все собственные значения различны, т. е. спектр оператора Л простой, и занумеруем собственные значения в порядке их возрастания . Через обозначим операторы проектирования на собственные векторы. Введем оператор

(значок i под знаком суммы принимает значения, удовлетворяющие условию ). Покажем, что

Для проверки этого равенства достаточно убедиться, что операторы одинаково действуют на базисные векторы . Используя определение функции от оператора, имеем

С другой стороны,

Последнее равенство написано с учетом того, что и оператор появится под знаком суммы только при условии . Легко проверить, что - проектор, т. е. . Очевидно, что при при Оператор называется спектральной функцией оператора А.

Теперь нетрудно получить явный вид для функции распределения ,

окончательно

Напомним, что Мы видим, что кусочно-постоянная функция, имеющая скачки при значениях I, совпадающих с собственными числами, и непрерывная в этих точках справа. График ее изображен на рис. 3.

Рис. 3.

Из вида функции распределения следует, что отличной от нуля является вероятность получить значение наблюдаемой А, совпадающее только с одним из собственных чисел. Вероятность при измерении получить значение равна величине скачка функции в этой точке

Сумма , как и следует ожидать, равна единице, так как

Для чистого состояния формула (5) принимает вид

Наконец, если система находится в состоянии т. е. в чистом состоянии, определяемом одним из собственных векторов наблюдаемой A, то по формуле . В таком чистом состоянии при измерении наблюдаемой А с достоверностью получится число

Пока мы предполагали, что оператор А имеет простой спектр. Обобщение полученных результатов на случай кратного спектра, когда собственному значению а соответствует несколько собственных векторов труда не представляет. Достаточно заменить проекторы на операторы проектирующие на собственные подпространства, соответствую собственным значениям

Тогда вероятность при измерении наблюдаемой А получить значение а в общем случае определяется формулой

а в случае чистого состояния

Теперь мы получили возможность показать, что обычное определение функции от оператора согласуется с данным в § 4 понятием функции от наблюдаемой. Действительно, операторы А и имеют общую систему собственных векторов

а число одновременно является вероятностью при измерении получить значение а, для наблюдаемой А и для наблюдаемой . Отсюда сразу следует, что

Заметим еще, что в состояниях, определяемых собственными векторами A, наблюдаемые А и одновременно имеют вполне определенные значения и соответственно.

Мы можем следующим образом подытожить результаты, которые связывают математический аппарат теории с ее физическим толкованием.

1) Наблюдаемая А в состоянии имеет среднее чение

функцию распределения

Для чистого состояния

2) Множество собственных значений наблюдаемой А совпадает с множеством возможных результатов измерения этой наблюдаемой.

3) Вероятность получить в результате измерения наблюдаемой A число, совпадающее с одним из ее собственных значений, вычисляется по формуле (7) в общем случае и по формуле (8) для чистых состояний.

4) Собственные векторы наблюдаемой A определяют чистые состояния, в которых наблюдаемая с достоверностью принимает значение, равное соответствующему собственному числу.

Мы видим, что построенная модель удовлетворяет многим физическим требованиям к механике микромира, сформулированным в § 4. Она допускает существование неизмеримых одновременно наблюдаемых и объясняет соотношения неопределенности. В рамках этой модели естественно описываются наблюдаемые, имеющие дискретное множество значений. С другой стороны, мы видим и ограниченность такой модели. Любая наблюдаемая не может иметь больше, чем n значений, где n — размерность пространства состояний и, следовательно, эта модель не позволяет описать наблюдаемые с непрерывным множеством значений. Поэтому трудно предположить, что такая модель может описывать реальные физические системы. Однако эти трудности не возникнут, если перейти к и в качестве пространства состояний взять комплексное гильбертово пространство, а наблюдаемые считать самосопряженными операторами в этом пространстве. Выбор пространств состояний для конкретных физических систем и правила построения наблюдаемых для них мы обсудим в § 11, а пока продолжим изучение нашей конечномерной модели. Конечномерная модель удобна для нас еще тем, что мы не сталкиваемся с чисто математическими трудностями спектральной теории неограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.

Заметим, что основные положения этой теории были разработаны фон Нейманом именно в связи с потребностями квантовой механики.