§ 6. Состояния в квантовой механике

В этом параграфе мы покажем, как задаются состояния в квантовой механике. Напомним, что мы сохранили определение состояния, приведенное в § 2. Там же было показано, что задание вероятностных распределений эквивалентно заданию средних значений для всех наблюдаемых. Рассуждения, которые привели нас к этому результату, сохраняют свою силу

и в квантовой механике, так как они не использовали конкретной реализации алгебры наблюдаемых классической механики. Задать состояние — это значит задать функционал на алгебре наблюдаемых со следующими свойствами:

Свойство 1) мы уже обсуждали. Свойство 2) выражает тот факт, что для наблюдаемой , которая по своему смыслу неотрицательна, среднее значение не может быть отрицательным числом. Свойство 3) утверждает, что среднее значение наблюдаемой С в любом состоянии совпадает с этой константой. Наконец, по свойству 4) средние значения вещественны. Таким образом, состояние в квантовой механике есть положительный, линейный функционал на алгебре самосопряженных операторов Общая форма такого функционала

где М — оператор в , удовлетворяющий условиям:

Оператор М называется матрицей плотности и играет в квантовой механике ту же роль, что и функция распределения в классической.

Покажем, что свойства матрицы плотности — следствие сформулированных выше свойств функционала усреднения . Действительно, из вещественности функционала следует

Полагая , где — самосопряженные операторы, получаем из последнего равенства

где - произвольный оператор в . Из произвольности оператора X сразу следует свойство 1).

Теперь используем положительность функционала

Положим , где — оператор проектирования на нормированный вектор

Для вычисления следа удобен любой базис, в котором первый базисный вектор совпадает с тогда

Мы видим, что положительность матрицы плотности является необходимым условием для положительности функционала Достаточность проверяется следующим образом:

так как каждое слагаемое под знаком суммы неотрицательно.

Наконец, условие нормировки матрицы плотности сразу следует из свойства 3) функционала.

Таким образом, мы показали, что состояния в квантовой механике описываются положительными самосопряженными операторами со следом, равным единице. (Напомним, что в классической механике состояние задается неотрицательной функцией , нормированной условием )

Любой оператор М со свойствами (18) описывает некоторое состояние системы, т. е. между множеством состояний и множеством матриц плотности М существует взаимно-однозначное соответствие

Если — операторы со свойствами (3), то очевидно, что их выпуклая комбинация

также обладает этими свойствами и, следовательно, соответствует некоторому состоянию

Мы видим, что множество состояний в квантовой механике является выпуклым.

Всем требованиям к матрице плотности удовлетворяет одномерный проектор . Действительно,

В конце параграфа мы покажем, что состояние не раскладывается в выпуклую комбинацию других состояний, т. е.

является чистым. (Напомним, что в классической механике чистое состояние имеет функцию распределения ) Заметим, что чистое состояние определяется заданием вектора , однако между чистыми состояниями и векторами нет взаимно-однозначного соответствия, так как если отличается от численным множителем по модулю равным единице, то . Таким образом, чистому состоянию соответствует класс нормированных на единицу векторов, отличающихся друг от друга множителем где .

Вектор обычно называют вектором состояния, а пространство, в котором действуют самосопряженные операторы (наблюдаемые), пространством состояний. Пока в качестве пространства состояний мы взяли пространство .

Покажем, что любое состояние в квантовой механике является выпуклой комбинацией чистых состояний. Для этого заметим, что М, как всякий самосопряженный оператор, имеет собственный базис

Разложим произвольный вектор g по этому базису и подействуем на него оператором М,

В силу произвольности

Все числа неотрицательны, так как они являются собственными значениями положительного оператора. Кроме того, и, следовательно, состояние М действительно является выпуклой комбинацией чистых состояний . Для среднего значения наблюдаемой в чистом состоянии формула (2) принимает вид

Для случая смешанного состояния имеем

Эта формула показывает, что так же как и в классической механике, утверждение о том, что система находится в смешанном состоянии равносильно утверждению, что система с вероятностями находится в чистых состояниях .

В заключение этого параграфа докажем, что состояние, описываемое матрицей плотности является чистым. Нам нужно показать, что из равенства

следует, что .

При доказательстве используем, что для положительного оператора А и произвольных векторов и справедливо неравенство

Из (8) следует, что если (Неравенство (8) есть условие положительности формы Эрмита: , где а и b — комплексные числа.)

Обозначим через подпространство, ортогональное вектору тогда если . Используя положительность операторов и (7), имеем

т. е. . Используя самосопряженность , получим для произвольного вектора

поэтому и, в частности . Здесь — константа, зависящая от вектора Произвольный вектор g можно представить в виде

поэтому . Наконец, из условия получаем, что следовательно, и .

Можно проверить и обратное утверждение. Если состояние является чистым, то существует вектор такой, что .