§ 47. Спин системы двух электронов

Пространство введенное в предыдущем параграфе, часто называют спиновым пространством для электрона. Для системы из двух электронов спиновым пространством является пространство . В пространстве выберем базис, состоящий из собственных векторов оператора с собственными значениями соответственно. В качестве базисных векторов в пространстве можно взять векторы где индексы (1) и (2) нумеруют спиновые подпространства электронов.

Более удобным, однако, оказывается другой ортонормированный базис, состоящий из векторов

Удобство нового базиса состоит в том, что векторы являются собственными векторами операторов

и

Здесь оператор есть третья проекция полного спина двух электронов аналогичный смысл имеют операторы Оператор есть квадрат полного спина.

Для того чтобы проверить сформулированное утверждение относительно векторов , найдем результат действия операторов на базисные векторы . Имеем

Используя эти формулы, получим

Наряду с (2) имеют место формулы

Проверим формулу (3) для вектора

Здесь мы использовали (1) и равенства . Таким образом, первые три вектора и описывают состояния, в которых квадрат полного спина системы из двух электронов равен 2. Число 2 можно записать в виде где поэтому полный спин в этих состояниях равен единице. Проекция полного спина в соответствии с общими свойствами момента импульса принимает в этих состояниях значения ±1 и 0. Вектор описывает состояние с полным спином, равным нулю. Иногда говорят, что в состояниях спины электронов параллельны, а в состоянии - антипараллельны.

Обсудим полученный результат с точки зрения теории групп. Мы знаем, что в пространстве действует неприводимое представление группы вращений операторами . Ясно, что отображение есть представление группы вращений в пространстве Представление О является тензорным произведением двух одинаковых представлений U, и оно приводимо. Согласно результатам пространство представимо в виде прямой суммы двух инвариантных относительно операторов подпространств, в которых действуют неприводимые представления. Первое из этих подпространств натягивается на векторы , а второе — на вектор . Используя обозначения § 29, мы можем записать этот результат в виде

Заметим, что мы доказали частный случай теоремы о разложении тензорного произведения неприводимых представлений группы вращений. Сформулируем эту теорему без доказательства.

Пусть в пространствах действуют неприводимые представления группы вращений Тогда тензорное произведение представлений представимо в виде прямой суммы неприводимых представлений

Последняя формула называется разложением Клебша — Гордана. Само разложение получается переходом от базиса, составленного из векторов где — собственные векторы операторов к базису из векторов . Векторы являются собственными для четырех коммутирующих операторов

Векторы пред ставимы в виде

Индексы суммирования пробегают значения Коэффициенты разложения С в (4) называются коэффициентами Клебша — Гордана. Заметим, что мы, переходя к базису нашли эти коэффициенты для случая .

Из сформулированной теоремы следует также, что если в некотором состоянии момент импульса имеет значение ,

а момент — значение , то полный момент может принимать значения Складывать таким образом можно как орбитальные или спиновые моменты для различных частиц, так и орбитальный и спиновой момент для одной частицы.

В заключение этого параграфа отметим важное для дальнейшего свойство базисных элементов . Для этого запишем их, вводя спиновые переменные s и каждая из которых может принимать два значения ±1/2

где

Из (5) следует, что функции являются симметричными функциями от спиновых переменных

— антисимметричная функция