§ 5. Конечномерная модель квантовой механики

Покажем, что алгебра наблюдаемых может быть реализована как алгебра самосопряженных операторов в конечномерном комплексном пространстве .

Векторы пространства будем обозначать греческими буквами . Напомним основные свойства скалярного

произведения:

Здесь — комплексное число.

Векторы образуют ортонормированный базис в , если

где — символ Кронекера.

Разложение произвольного вектора по векторам базиса ей имеет вид

Вектор однозначно определяется числами

Если выбран базис, то тем самым выбрана конкретная реализация для векторов или задано представление. Пусть — базис, тогда векторы

(4)

тоже образуют базис, если матрица обратима и

Матрица, для элементов которой справедливо равенство (5), называется унитарной. Переход от одного базиса к другому есть унитарное преобразование.

Если выбрано представление, то для скалярного произведения справедлива формула

Операторы в заданном базисе представляются матрицами

Действительно, пусть , тогда . Оператор называется сопряженным

оператору А, если для любой пары векторов и справедливо равенство

Очевидно, что . Оператор называется самосопряженным, если . Для самосопряженного оператора . Непосредственно из определения сопряженного оператора следуют равенства

где а — комплексное число.

Построим реализацию алгебры наблюдаемых. Пусть — множество самосопряженных операторов в . В дальнейшем самосопряженные операторы мы часто будем называть наблюдаемыми. На множестве операторов обычным образом определены операции сложения и умножения на число. Если , то , так как и Естественно эти операции считать операциями сложения наблюдаемых и умножения на число.

Следующая наша задача — научиться строить функции от наблюдаемых. Можно предположить, что здесь годится обычное определение функции от оператора. Это предположение мы сможем оправдать после того, как научимся строить вероятностные распределения для наблюдаемых в квантовой механике. Тогда мы сумеем проверить формулу , эквивалентную общему определению функции от наблюдаемой, данному в предыдущем параграфе.

Напомним, что существует несколько эквивалентных определений функции от оператора. Если для f(x) на всей вещественной оси справедливо разложение в степенной ряд

то определяется формулой

Второе определение использует существование у самосопряженных операторов собственного базиса

Здесь — собственные векторы, а — собственные значения оператора A. Для определения линейного оператора достаточно определить результат действия на векторы базиса. По определению

В собственном базисе матрица A диагональна, и на диагонали стоят собственные значения, т. е. . В этом же представлении Заметим, что вещественной функции соответствует самосопряженный оператор, т. е. .

Операция определяется формулой (4.6), которая для самосопряженных операторов имеет вид

Самосопряженность оператора очевидна.

Нам осталось построить лиевскую операцию. Для этого рассмотрим коммутатор операторов А и . Операция [АВ] обладает следующими свойствами:

Все эти свойства проверяются непосредственным вычислением. Заметим, что свойство 3) справедливо и для несимметризованного произведения. Действительно,

Мы видим, что коммутатор обладает свойствами лиевской операции, но не является самосопряженным оператором, т. е. Однако выражение которое отличается от коммутатора чисто мнимым множителем удовлетворяет всем требованиям. Отметим, что алгебры , построенные с разными постоянными h, неизоморфны друг другу. Выбор h может быть сделан только после сравнения теории с экспериментом. Это сравнение показывает, что константа h совпадает с постоянной Планка. В дальнейшем мы будем использовать обозначение

и называть квантовой скобкой Пуассона.

Интересно отметить, что в классической механике мы могли бы вместо

определить скобку Пуассона равенством

где a — вещественная постоянная. Нетрудно видеть, однако, что новое определение скобки Пуассона в классической механике приведет к алгебре изоморфной исходной. Действительно, замена переменных возвращает нас к старому определению.

Важную роль в квантовой механике играет след оператора . По определению

Напомним основные свойства этой операции. След не зависит от выбора базиса. В частности, если взять собственный базис оператора A, то

т. е. след является суммой собственных чисел. Если — кратное собственное значение, то оно входит слагаемым в сумму столько раз, какова его кратность.

След произведения двух операторов не зависит от порядка сомножителей

В случае большего числа сомножителей допустима их циклическая перестановка под знаком

След самосопряженной матрицы — вещественное число, так как собственные значения ее вещественны.