§ 40. Движение волновых пакетов в поле силового центра

Построим с помощью функции решение нестационарного уравнения Шредингера

вида

Если функция удовлетворяет условию

то вследствие (39.13) имеет правильную нормировку

Как и в одномерном случае, разумно рассмотреть решение с функцией , сосредоточенной в малой окрестности точки . По теореме Римана — Лебега при для любой конечной области . Поэтому функция описывает инфинитное движение частицы. Нас интересует поведение этого решения при и мы можем заменить в формуле (1) ее асимптотическим выражением

При имеем

где соответствуют сходящейся и расходящейся волне в асимптотике.

Функция может быть переписана в виде

(мы распространили интегрирование на всю вещественную ось, положив при ). Вычисляя интеграл (3) методом стационарной фазы, получим

через как всегда, обозначена вещественная функция, которая нас не интересует.

Для того чтобы вычислить используем формулу (39.6) для функции

Здесь мы ввели обозначение и, учитывая -образность функции заменили функцию ее значением в точке Интеграл в (5) вычисляется методом стационарной фазы

Наконец, учитывая -образность функции (она сосредоточена в окрестности точки ), получим

Из формул (4) и (6) видно, что дает вклад в только при только при Для плотности функции распределения координат имеем

Из формул (7) и (8) следует, что полученные асимптотические выражения для имеют правильную нормировку при (Проверка этого утверждения для случая тривиальна, а в случае следует использовать формулу ).

Вспоминая, что отлична от нуля только в малой окрестности точки в малой окрестности точки ,

мы видим, что при плотность функции распределения координат отлична от нуля в окрестности точки При плотность отлична от нуля внутри тонкого сферического слоя радиуса Угловое распределение вероятности можно получить проинтегрировав (8) по переменной с весом Ясно, что первые два слагаемых в (8) дают вклад в это распределение только при направлениях, близких к . Угловое распределение по всем остальным направлениям пропорционально .

Рис. 14.

Теперь мы легко можем представить, как происходит движение частицы в состоянии, описываемом функцией Задолго до рассеяния частица со скоростью приближается к рассеивающему центру, двигаясь по направлению . После рассеяния частица удаляется от рассеивающего центра с той же скоростью, причем она может быть обнаружена в любой точке сферического слоя радиуса с вероятностным распределением по углам, зависящем от . На рис. 14 заштрихованы области, в которых велика вероятность обнаружить частицу при . Крест-накрест заштрихованы области, в которых эта вероятность отлична от нуля и при отсутствии рассеивающего центра.

Три слагаемых в формуле (8) допускают следующее толкование. Интеграл по всему пространству от суммы первых двух слагаемых есть вероятность того, что частица пройдет мимо

силового центра без рассеяния. Эта вероятность меньше единицы за счет второго слагаемого. Интеграл от третьего слагаемого есть вероятность рассеяния. Мы уже упоминали, что асимптотическое выражение (6) для имеет правильную нормировку, поэтому

Мы видим, что решение уравнения Шредингера построенное при помощи функции правильно описывает физическую картину рассеяния. Это оправдывает выбор асимптотического условия для функции .

Отметим еще некоторые особенности решения Нетрудно видеть, что при эта функция имеет такую же асимптотику, как и решение уравнения Шредингера для свободной частицы

(Здесь ) та же функция, что и в интеграле Действительно, расходящиеся волны не дают вклада в асимптотику при а коэффициенты при в асимптотическом выражении для функций и совпадают.

Покажем, что и при решение асимптотически стремится к некоторому решению уравнения Шредингера для свободной частицы. Учитывая, что при сходящиеся волны не дают вклада в асимптотику, получим

Здесь

Мы видим, что решение уравнения Шредингера асимптотически стремится к решению для свободной частицы при Функция , определяющая конечное состояние свободного движения, получается из функции , задающей начальное состояние, в результате действия оператора S. Унитарность оператора S обеспечивает правильную нормировку так как вследствие унитарности