Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 43. Абстрактная теория рассеянияВ этом параграфе мы будем строго придерживаться следующих обозначений. Оператор Шредингера для свободной частицы обозначается через Но, оператор Шредингера частицы в поле через Н
где V — оператор потенциальной энергии. Любое решение нестационарного уравнения Шредингера для частицы в поле обозначается через Аналогично любое решение уравнения Шредингера для свободной частицы обозначается символом
Различные решения В § 40 мы построили решение уравнения Шредингера
Физическую картину рассеяния можно представлять следующим образом. Задолго до рассеяния частица свободно движется вдали от рассеивающего центра, затем она попадает в зону действия потенциала (происходит рассеяние) и, наконец, через достаточно большой промежуток времени движение частицы снова становится свободным. Поэтому естественной представляется следующая постановка нестационарной задачи о рассеянии: 1. По произвольному вектору
2. По построенному вектору Вектор 3. Показать, что существует такой унитарный оператор S, что
Начнем с пункта 1. Поставим задачу несколько шире и посмотрим, возможно ли по произвольным векторам и построить такие векторы Переписывая (1) с учетом унитарности оператора
мы видим, что поставленный вопрос сводится к существованию сильных пределов
Операторы Найдем простое достаточное условие существования волновых операторов. Рассмотрим оператор
вычислим его производную
Очевидно, что
Вопрос о существовании операторов
для любого любого
Посмотрим, для каких потенциалов выполняется (5). В координатном представлении мы имеем оценку для волновой функции
равномерно относительно
Мы видим, что условие (5) выполняется, если потенциал квадратично интегрируемая функция. Разумеется, это условие не является необходимым. Класс потенциалов, для которых существуют Вернемся к рассмотрению потенциалов, для которых существуют волновые операторы Оказывается, что если у оператора Н существуют собственные векторы пределы
Мы учли, что
так как вектор Из физических соображений также легко понять, почему состояние Ясно, что (1) несправедливо и для любого вектора Итак, мы видим, что по произвольному вектору Обозначим через Достаточно проверить, что векторы
Следующее свойство мы приведем без доказательства. Оказывается, что
Доказательство этого утверждения является наиболее сложным в абстрактной теории рассеяния. Подпространство Покажем далее, что операторы
т. е. операторы
Операторы
Если Н имеет дискретный спектр и
Домножая это равенство на U и учитывая (8), получим
С другой стороны, для
поэтому
Любой вектор
и
где Р — проектор на подпространстве связанных состояний Таким образом, в общем случае вместо (9) имеет место равенство
поэтому при наличии дискретного спектра операторы Наконец, покажем, что для любой ограниченной функции
Переходя к пределу при
получим
откуда сразу следует (13). Вернемся к нестационарной задаче о рассеянии, постановка которой была сформулирована в начале параграфа. Если для некоторого потенциала V существуют волновые операторы Вектор
Вектор
или
что можно переписать в виде
где Унитарность оператора рассеяния S следует из (8), (12) и очевидных равенств
и аналогично
Далее из (13) следует, что
Запишем (15) в импульсном представлении при
Мы видим, что ядро оператора S может быть записано в виде
и соотношение (14) принимает вид
Сравнивая эту формулу с (40.9), получаем, что функция стационарной задачи о рассеянии может быть установлена, конечно, и в рамках строгой теории. Существует простая связь между волновыми операторами
Здесь мы обозначили функцию
Полагая в этих равенствах
Сравнивая эти формулы с
получаем, что
Можно показать также, что
Связь операторов
(Н — оператор Шредингера в импульсном представлении),
Формула (17) показывает, что ядра операторов
|
1 |
Оглавление
|