§ 43. Абстрактная теория рассеяния

В этом параграфе мы будем строго придерживаться следующих обозначений. Оператор Шредингера для свободной частицы обозначается через Но, оператор Шредингера частицы

в поле через Н

где V — оператор потенциальной энергии. Любое решение нестационарного уравнения Шредингера для частицы в поле обозначается через . Этот вектор однозначно определяется своим значением при , которое мы обозначаем через , т. е. (напомним, что — оператор эволюции).

Аналогично любое решение уравнения Шредингера для свободной частицы обозначается символом а его значение при через

Различные решения могут снабжаться дополнительными индексами. Соответствующие векторам волновые функции будут записываться как в координатном представлении и в импульсном представлении. Наконец, собственные векторы оператора Н (если они существуют) будем обозначать через .

В § 40 мы построили решение уравнения Шредингера которое при асимптотически стремилось к некоторым решениям уравнения Шредингера для свободной частицы , поэтому можно ожидать, что для такого решения справедливы равенства

Физическую картину рассеяния можно представлять следующим образом. Задолго до рассеяния частица свободно движется вдали от рассеивающего центра, затем она попадает в зону действия потенциала (происходит рассеяние) и, наконец, через достаточно большой промежуток времени движение частицы снова становится свободным. Поэтому естественной представляется следующая постановка нестационарной задачи о рассеянии:

1. По произвольному вектору из пространства состояний построить вектор такой, что (1) справедливо при

2. По построенному вектору найти вектор такой, что (1) справедливо при

Вектор описывает такое состояние частицы, которое в далеком прошлом совпадает с и при переходит Физика интересует связь между векторами . Поэтому к пунктам 1 и 2 постановки задачи можно добавить следующее.

3. Показать, что существует такой унитарный оператор S, что

Начнем с пункта 1. Поставим задачу несколько шире и посмотрим, возможно ли по произвольным векторам и построить такие векторы что (1) справедливо при и соответственно (разумеется, векторы построенные по и по не обязаны совпадать).

Переписывая (1) с учетом унитарности оператора в виде

мы видим, что поставленный вопрос сводится к существованию сильных пределов

Операторы если они существуют, называются волновыми операторами. Если построен оператор , то вектор удовлетворяет пункту 1 постановки задачи.

Найдем простое достаточное условие существования волновых операторов. Рассмотрим оператор

вычислим его производную

Очевидно, что поэтому

Вопрос о существовании операторов мы свели к вопросу о сходимости интегралов (3) на верхнем пределе. Достаточным условием сходимости (3) является существование интегралов

для любого (мы учли унитарность оператора ). Наконец, интегралы (4) сходятся на верхних пределах, если для

любого

Посмотрим, для каких потенциалов выполняется (5). В координатном представлении мы имеем оценку для волновой функции

равномерно относительно . Тогда

Мы видим, что условие (5) выполняется, если потенциал квадратично интегрируемая функция. Разумеется, это условие не является необходимым. Класс потенциалов, для которых существуют шире, но существуют потенциалы, для которых нельзя построить волновые операторы. Важнейшим примером такого потенциала является кулоновский потенциал . Причиной отсутствия волновых операторов для кулоновского потенциала является его слишком медленное убывание на бесконечности. Решения уравнения Шредингера для кулоновского потенциала не стремятся к решениям для свободной частицы при (частица «чувствует» потенциал даже на бесконечности). В связи с этим и нестационарная, и стационарная постановки задачи о рассеянии в кулоновском поле требуют серьезной модификации. Асимптотический вид кулоновских функций отличен от (39.7).

Вернемся к рассмотрению потенциалов, для которых существуют волновые операторы и обсудим пункт 2. Можно поставить такой вопрос: для любого ли вектора найдутся векторы такие, что (1) справедливо при .

Оказывается, что если у оператора Н существуют собственные векторы то для них равенство (1) несправедливо ни при каких Действительно, в этом случае легко можно сосчитать для произвольного

пределы

Мы учли, что

так как вектор слабо стремится к нулю при .

Из физических соображений также легко понять, почему состояние не стремится асимптотически к некоторому состоянию свободного движения при Вектор описывает состояние частицы, локализованной около рассеивающего центра, а вектор любом состояние частицы, уходящей при на бесконечность.

Ясно, что (1) несправедливо и для любого вектора где — подпространство, натянутое на собственные векторы оператора Н. Будем называть подпространство подпространством связанных состояний.

Итак, мы видим, что по произвольному вектору , вообще говоря, нельзя построить вектор удовлетворяющий (1) при Для того чтобы выяснить, возможно ли по построенному вектору найти нам потребуется изучить, свойства волновых операторов.

Обозначим через области значений операторов Покажем, что .

Достаточно проверить, что векторы ортогональны к собственным векторам для любого . Из (6) получим

Следующее свойство мы приведем без доказательства. Оказывается, что

Доказательство этого утверждения является наиболее сложным в абстрактной теории рассеяния. Подпространство , совпадающее с областями значений операторов часто называют подпространством состояний рассеяния.

Покажем далее, что операторы являются изометрическими. Действительно, из сильной сходимости оператора при и унитарности этого оператора следует, что

т. е. операторы сохраняют норму вектора и поэтому

Операторы являются унитарными только при отсутствии собственных векторов дискретного спектра у оператора Н. В этом случае операторы отображают на взаимно однозначно, и тогда наряду с (8) имеет место равенство

Если Н имеет дискретный спектр и ей, тогда найдутся такие векторы что

Домножая это равенство на U и учитывая (8), получим

С другой стороны, для любого

поэтому

Любой вектор можно представить в виде

и

где Р — проектор на подпространстве связанных состояний Таким образом, в общем случае вместо (9) имеет место равенство

(12)

поэтому при наличии дискретного спектра операторы не являются унитарными.

Наконец, покажем, что для любой ограниченной функции справедливо равенство

Переходя к пределу при в равенстве

получим

откуда сразу следует (13).

Вернемся к нестационарной задаче о рассеянии, постановка которой была сформулирована в начале параграфа. Если для некоторого потенциала V существуют волновые операторы и справедливо (7), то нестационарная задача о рассеянии имеет единственное решение.

Вектор находится для произвольного по формуле

Вектор , поэтому согласно (10)

или

что можно переписать в виде

где

Унитарность оператора рассеяния S следует из (8), (12) и очевидных равенств . Действительно,

и аналогично

Далее из (13) следует, что

Запишем (15) в импульсном представлении при

Мы видим, что ядро оператора S может быть записано в виде

и соотношение (14) принимает вид

Сравнивая эту формулу с (40.9), получаем, что функция , введенная соотношением (16), совпадает с функцией из § 39. Эта связь между -оператором нестационарной теории рассеяния и асимптотикой волновых функций

стационарной задачи о рассеянии может быть установлена, конечно, и в рамках строгой теории.

Существует простая связь между волновыми операторами и введенными в § 39 решениями уравнения Шредингера Напомним, что решение нестационарного уравнения Шредингера построенное по функции , имеет вид

Здесь мы обозначили функцию через . Мы знаем, что функция при асимптотически стремится к

Полагая в этих равенствах , получим

Сравнивая эти формулы с записанной в им» пульсном представлении

получаем, что

Можно показать также, что

Связь операторов с собственными функциями непрерывного спектра оператора Н становится особенно наглядной, если выписать (13) при и (12) в импульсном представлении

(Н — оператор Шредингера в импульсном представлении),

Формула (17) показывает, что ядра операторов рассматриваемые как функции от р, есть собственные функции непрерывного спектра, соответствующие собственному значению . Тогда - условие «ортонормированности» собственных функций , а (19) — условие полноты систем .