§ 22. Трехмерная частица в потенциальном поле

Оператор Шредингера для частицы в потенциальном поле в координатном представлении имеет вид

Важность задачи о движении частицы в потенциальном поле объясняется тем, что к ней сводится (как и в классической механике) задача о движении двух тел. Покажем, как это делается в квантовой механике. Рассмотрим систему двух частиц с массами взаимодействие между которыми описывается потенциалом . Запишем оператор Шредингера этой системы в координатном представлении

Здесь и — операторы Лапласа по координатам первой и второй частиц соответственно. Введем новые переменные

X — координаты центра инерции системы, а — относительные координаты. С помощью простых вычислений получим выражение для Н в новых переменных:

Здесь — полная масса системы, а — так называемая приведенная масса. Первое слагаемое в Н может быть истолковано как оператор кинетической энергии центра инерции системы, а оператор

является оператором Шредингера для относительного движения. В уравнении

переменные разделяются, и решения такого уравнения можно искать в виде

Функции удовлетворяют уравнениям

Причем . Первое из этих уравнений имеет решения

задача сводится к решению второго уравнения, которое по форме совпадает с уравнением Шредингера для частицы с массой в потенциальном поле . Отметим, что спектр оператора Н является всегда непрерывным, так как непрерывным является спектр оператора

Наиболее важным случаем задачи о движении частицы в потенциальном поле является задача о движении в поле силового центра. В этом случае потенциал зависит только от . К задаче о центральном поле сводится задача двух частиц, если потенциал взаимодействия зависит только от расстояния между частицами. Прежде чем переходить к рассмотрению этой задачи, мы изучим свойства момента импульса и некоторые вопросы из теории представлений группы вращений, что позволит нам явно учесть сферическую симметрию задачи.