2.3. Поля

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

2.3. Поля

Полем называется коммутативное кольцо с единичным элементом по умножению (единичный мультипликативный элемент кольца), в котором каждый ненулевой элемент обладает мультипликативным обратным элементом (т. е. обратным по умножению).

Некоммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обладает обратным, называют кольцом с делением, или телом.

Заметим, что ненулевые элементы поля удовлетворяют всем аксиомам группы и, следовательно, образуют мультипликативную группу группу по умножению).

Примеры. Совокупность всех действительных чисел является полем так же как и совокупность всех рациональных чисел и совокупность всех комплексных чисел.

Наименьшее число элементов, образующих ноле, равно двум, потому что поле должно содержать два единичных элемента: относительно операции сложения, а именно 0 и относительно операции умножения 1. Эти два элемента должны удовлетворять правилам сложения и умножения, приведенным в табл. 2.1, ибо существует только одна возможная таблица сложения для группы с двумя элементами.

Таблица 2.1 (см. скан) Таблицы сложения и умножения в поле с двумя элементами

Кроме того, было показано, что вообще в кольце для любого элемента а, и поскольку 1 является единичным элементом, то Легко проверить, что совокупность элементов 0 и I с операциями, определенными выше, удовлетворяет всем аксиомам поля.

Можно показать, что для любого числа являющегося степенью простого числа, существует поле, содержащее элементов. Доказательству этого факта более соответствуют материалы гл. 6, и оно проводится там. Однаад здесь полезно отметить, что поле с элементами, где простое число можно получить, рассмотрев совокупность целых чисел по модулю Совокупность целых чисел по модулю не образует поля, если только не является простым. Поле, содержащее элементов не может быть образовано из совокупности целых чисел по модулю Для использования в дальнейших примерах приведены таблицы 2.2 и 2.3 правил сложения и умножения в полях, содержащих три и четыре элемента. Поле с четырьмя элементами, описанное в табл. 2.3, не есть совокупность целых чисел по модулю 4.