ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ КОДЫ

3.1. Определение линейного кода

Рассмотрим канал, такой, что число его символов является степенью простого числа, так что эти символы могут быть элементами конечного поля. случае получается двоичный канал с символами 0 и 1, Совокупность всех последовательностей элементов поля длины образует векторное пространство. Некоторое множество векторов называется линейным кодом тогда и только тогда, когда оно является подпространством пространства всех последовательностей длины случае двоичного канала и, более того, в случае любого поля из элементов, где простое число, всякая группа векторов является также линейным пространством. (Задачи 2.9 и 6.8.) Для двоичных линейных кодов общеприняты названия групповой код или групповой алфавит [73].

Вес Хэмминга вектора обозначаемый определяется как число ненулевых компонент этого вектора. Так как расстояние Хэмминга между двумя векторами равно числу компонент, которыми они отличаются, то расстояние между и равно Если векторы оба являются кодовыми векторами линейного кода, то разность также должна быть кодовым вектором, потому что множество всех кодовых векторов есть векторное пространство. Следовательно, расстояние между двумя кодовыми векторами равно весу некоторого третьего кодового вектора, и минимальное расстояние для линейного кода равно минимальному весу его ненулевых векторов. Это свойство очень помогает при анализе возможности исправления ошибок линейными кодами.

Пример. Для значений совокупность векторов и (1110 0) образует векторное пространство К, и, следовательно, линейный или двоичный групповой код. Минимальный вес равен 2, и, следовательно, минимальное расстояние равно 2. Этот код будет использоваться в качестве примера на протяжении всей этой главы.