Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.8. Итеративные кодыДля того чтобы получить более совершенные коды, можно использовать комбинации двух или более кодов. Например, при помощи единственной проверки на четность для компонент каждого вектора можно обнаружить все одиночные ошибки.
Рис. 5.2. Структура итеративных кодов. Рассмотрим теперь информационные символы, расположенные в прямоугольную таблицу, как это показано на рис. 5.2, с одной проверкой на четность по всем символам для каждой строки и каждого столбца. Этот код, полученный из простейшего кода с проверкой на четность, может исправлять все одиночные ошибки, ибо если произошла одна ошибка, строка и столбец, в которых она произошла, будут указаны неверными результатами проверок на четность. В самом деле, минимальный вес этого кода, являющегося линейным, равен 4 — весу минимального по весу кодового слова, имеющему ненулевые компоненты на пересечении двух строк и двух столбцов. Этот код используется на практике для обнаружения ошибок на магнитной ленте в вычислительных машинах фирмы ИБМ, Важным обобщением этого кода является код, получаемый в том случае, когда в качестве строк таблицы берутся векторы из одного кода, а в качестве столбцов векторы из другого кода. Итеративные коды можно также строить на основе трехмерных таблиц и таблиц более высоких размерностей. Получаются линейные коды. Итерация кодов была названа Слепяпом произведением кодов, так как порождающая матрица итерации двух кодов комбинаторно эквивалентна тензорному произведению порождающих матриц двух исходных кодов. Необходимо отметить, что некоторые символы, например, символ, расположенный на рис. 5.2 в нижнем правом углу, получаются как проверка проверочных символов. Они могут быть построены на основе проверок по строкам и тогда будут удовлетворять проверке по столбцам и наоборот. Если они построены при помощи проверок по строкам на основе соответствующих проверочных правил для кода, используемого в строках таблицы, то каждый проверочный столбец является в действительности линейной комбинацией столбцов, содержащих информационные символы. Проверочные символы добавлены к каждому из этих столбцов, что превращает каждый столбец в кодовый вектор, и, следовательно, проверочные столбцы, будучи линейными комбинациями кодовых векторов для кода, используемого в столбцах таблицы, также являются кодовыми векторами из этого кода. Можно сделать два замечания относительно возможности этих кодов исправлять ошибки. Теорема 5.3, Минимальный вес итерации, или произведения двух кодов, равен произведению минимальных весов этих кодов. Доказательство. Если минимальный вес одного кода равен Теорема 5.4. Если при передаче по двоичному симметричному каналу вероятность ошибки для первого кода равна Доказательство. Предположим, что первый код используется в качестве строк и что после получения всей информации декодирование производится только по строкам. Тогда вероятность ошибки в некоторой строке равна Элайес использовал интересным способом эти идеи для того, чтобы найти для двоичного симметричного канала последовательность кодов, вероятности ошибок для которых стремятся к нулю, когда длина кодов неограниченно возрастает, а скорости передачи при этом стремятся к пределу, который больше нуля. Это единственный известный пример кодовой системы, обладающей обоими этими свойствами. В рассматриваемой системе используется код Хэмминга, исправляющий одиночные ошибки и обнаруживающий двойные ошибки. Этот код содержит
и, следовательно, вероятность того, что после исправления ошибок в некотором символе останется ошибка, равна
Рассмотрим теперь итерации этих кодов, производимые последовательно
а последовательное применение неравенства 5.11 совместно с тождеством 4.25 дает
Это выражение стремится к нулю, когда Наконец, долю символов, которые будут информационными символами после
и на каждом шаге добавляются проверочные символы, сокращая долю всех информационных символов на это отношение. Следовательно, результирующая скорость передачи равна
Это выражение может быть ограничено снизу на основе неравенства
которое совместно с тождеством 4.25 дает
Из сказанного следует, что если вероятность ошибки в канале достаточно мала для того, чтобы среднее число ошибок в каждой строке первой итерации было меньше 1/2, то вероятность ошибки может быть сделана произвольно малой, если использовать достаточное число итераций, причем скорость передачи, или доля символов, несущих информацию, для любого числа итераций остается больше некоторой постоянной величины. Скорость передачи для этого кода оказывается меньше скорости передачи, которую можно достигнуть в соответствии с основной теоремой Шеннона для каналов с шумом. Действительно, эффективность рассматриваемого кода ограничена в некотором смысле эффективностью первой итерации. Вероятность ошибки (и эффективность) первой итерации ограничена для коротких кодов границей, полученной на основе принципа плотной упаковки сфер, так что для того, чтобы увеличить эффективность далее некоторого предела, надо увеличить длину первой итерации. (Используемое здесь понятие эффективности может быть сделано точным; см. работу Другое важное замечание состоит в том, что минимальный вес после
стремится к нулю при
|
1 |
Оглавление
|